Question

quantos numeros inteiros existem, de 100 a 10000 que nao sao divisiveis nem por 5 nem por 7?

Answer 1

Lembre-se de uma coisa: Sendo a e b números reais, se a é divisível por b, então a é múltiplo de b.
Ex: se 35 é divisível por 7, então 35 é múltiplo de 7

Vamos resolver por passos, primeiro vamos obter 3 informações:
1) Quantos números inteiros de 100 a 10000 são múltiplos de 5.
2) Quantos deles são múltiplos de 7.
3) Quantos deles são múltiplos comuns de 5 e de 7 (ou seja, que são múltiplos de 35).

Depois de obter essas 3 informações:
4) Some os múltiplos de 5 e de 7 e subtraia deles os múltiplos de 35, assim iremos obter os múltiplos de 5 e de 7.
5) Como entre 100 e 10000 há 9901 números (contando com 100 e 10000), basta tirarmos os múltiplos de 5 e de 7 de 9901 e assim obter os números inteiros que não são divisíveis nem por 5 e nem por 7.
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Então, vamos lá:

1) Para acharmos os múltiplos de 5 de 100 a 10000, basta entendermos que eles formam uma PA de razão 5, então é só pegarmos o primeiro e o último múltiplo de 5 de 100 a 10000, e depois achar o número de termos dessa PA.

a1 = 100
an = 10000
r = 5
n = ?

an = a1 + (n-1)r
10000 = 100 + (n-1).5
10000 - 100 = (n-1).5
9900 = (n-1).5
n - 1 = 9900/5
n - 1 = 1980
n = 1980 + 1
n = 1981   << de 100 a 10000 há 1981 múltiplos de 5.

2) Agora os de 7: 
a1 = 105
an = 9996
r = 7 
n = ?

an = a1 + (n-1)r
9996 = 105 + (n-1).7
9996 - 105 = (n-1).7
9891 = (n-1).7
9891/7 = n - 1
1413 = n - 1
n = 1413 + 1
n = 1414       << de 100 a 10000 há 1414 múltiplos de 7.

3) Agora os de 35:
a1 = 105
an = 9975
r = 35
n = ?

an = a1 + (n-1)r
9975 = 105 + (n-1).35
9975 - 105 = (n-1).35
9870 = (n-1).35
9870/35 = n - 1
282 = n - 1
n = 282 + 1
n = 283               << de 100 a 10000 há 283 múltiplos de 35

4) Agora vamos fazer o que o passo 4 diz:

1981 + 1414 - 283 = 3112    <<< há 3112 números entre 100 e 10000 que                                                 são múltiplos de 5 e de 7

5) 9901 - 3112 = 6789

R = Há 6789 números entre 100 e 10000 que não são divisíveis nem por 5 nem por 7.

Bons estudos