Question

quantos numeros existem inferiores a 1.000 com algarismos distintos??

Answer 1

739...............................................................

Answer 2

Temos o caso de um arranjo simples (sem combinação).
Valor vai de 001 a 999, ou seja, 999 valores.

Para valores com 3 casas decimais:
Na casa da centena, os valores vão de 1 a 9, tendo 9 possibilidades.
Na casa da dezena, os valores vão de 0 a 9, mas sem repetir a casa da centena, sobrando 9 possibilidades.
Na casa da unidade, os valores vão de 0 a 9, mas sem repetir os valores da casa da centena e da unidade, sobrando 8 possibilidades.

$9 \times 9 \times 8 = \boxed{648\ possibilidades}$


Valores com 2 casas decimais:

Na casa da dezena, os valores vão de 1 a 9, tendo 9 possibilidades.
Na casa da dezena, os valores vão de 0 a 9, mas sem repetir a casa da dezena, sobrando 9 possibilidades.

$9 \times 9 = \boxed{81\ possibilidades}$

Valores com 1 casa decimal:
Na casa da dezena, os valores vão de 1 a 9, tendo 9 possibilidades.

$9 = \boxed{9\ possibilidades}$

Total = 648+81+9 = 738 possibilidades

[EDIT]
Para resolver utilizando a fórmula do arranjo simples, precisamos fazer as seguintes associações:
Temos 3 casos específicos. Valores com 3 casas decimais, com 2 casas decimais e com 1 casa decimal.

Para 3 casas decimais (chamarei de A1):
Calculando a casa da centena, que possui apenas 9 variações:
$A1=\dfrac{9!}{(9-1)!}\\\\ A1=\dfrac{9\times\not8!}{\not8!}\\\\ \boxed{A1=9\ possibilidades}$

Os demais casos, a casa da dezena e da unidade, irão variar igualmente, entre 0 a 9, tendo 10 possibilidades, mas sem repetir o valor da casa da centena, sobrando (10-1) 9 possibilidades (chamarei de A2):
$A2 = \dfrac{9!}{(9-2)!}\\\\ A2=\dfrac{9\times8\times\not7!}{\not7!}\\\\ \boxed{A2=72\ possibilidades}$

Agora juntamos A1 com A2, para termos o valor final:
$Total_1 = A1 \times A2\\\\ Total_1 = 9 \times 72\\\\ \boxed{Total_1 = 648\ possibilidades}$

Para 2 casas decimais (chamarei de A3):
Calculando a casa da dezena, que possui apenas 9 variações:
$A3=\dfrac{9!}{(9-1)!}\\\\ A3=\dfrac{9\times\not8!}{\not8!}\\\\ \boxed{A3=9\ possibilidades}$

A casa da unidade, vai variar entre 0 a 9, tendo 10 possibilidades, mas sem repetir o valor da casa da dezena, sobrando (10-1) 9 possibilidades (chamarei de A4):
$A4 = \dfrac{9!}{(9-1)!}\\\\ A4=\dfrac{9\times\not8!}{\not8!}\\\\ \boxed{A4=9\ possibilidades}$

Agora juntamos A3 com A4, para termos o valor final:
$Total_2 = A3 \times A4\\\\ Total_2 = 9 \times 9\\\\ \boxed{Total_2 = 81\ possibilidades}$

Para 1 casas decimais (chamarei de Total3):
Calculando a casa da unidade, que possui apenas 9 variações:
$Total_3=\dfrac{9!}{(9-1)!}\\\\Total_3=\dfrac{9\times\not8!}{\not8!}\\\\ \boxed{Total_3=9\ possibilidades}$

Agora somamos todas as possibilidades:
$Total = Total_1+Total_2+Total_3\\\\ Total=648+81+9\\\\ \boxed{\boxed{Total = 738\ possibilidades}}$

A fórmula geral para cálculo de arranjo simples é:
$A=\dfrac{n!}{(n-p)!}\\\\ Onde:\\ A \rightarrow Total\ de\ possibilidades\\ p \rightarrow Quantidade\ de\ casas\ que\ possuem\ varia\c{c}\~ao\\ n \rightarrow Quantidade\ de\ varia\c{c}\~oes\ possiveis\ em\ cada\ posi\c{c}\~ao$

Bons estudos!