Question

Quantos números de 7 algorismo contém a sequência 132?

Quantos são os números com 6 algarismos que tem exatamente dois algarismos 3 e são múltiplos de 5?

Answer 1

a) 46000 números de 7 algarismos com a sequencia 132

b) 14580 números de 6 algarismos com exatamente dois algarismos 3 e que seja múltiplo de 5.

a)

Queremos encontrar os números que tem 7 algorismos com 3 algorismos adjacentes formando 123.

Vamos analisar alguns casos para poder identificar os padrões:

Primeiro, um problema análogo de quantos números de 4 algorismos terminam com o final 123:

$\left\begin{matrix} x&1&3&2\\\end{matrix}$

$x$ assume valores entre 0 e 9. Por definição, se x assumir o valor 0, teremos apenas 3 casas decimais. então, só exoste 9 formas possíveis.

Vamos agora para o caso de 7 casas decimais com final 132:

$\left\begin{matrix} x&x&x&x&1&3&2\\\end{matrix}$

Cada $x$ pode assumir valores entre 0 e 9 exceto pelo primeiro x (que se for zero, fará ser um número de 6 algorismos)

Pelo princípio fundamental da contagem temos então que o número de combinações é $(10-1)\times10\times10\times10=9\times1000=9000$

Então existem 9000 números de 7 algorismos com final 132.

Partindo para o caso geral, também podemos ter

$\left\begin{matrix} x&x&x&1&3&2&x\\\end{matrix}\\\\\left\begin{matrix} x&x&1&3&2&&x&x\\\end{matrix}\\\\\left\begin{matrix} x&1&3&2&&x&x&x\\\end{matrix}\\\\left\begin{matrix} 1&3&2&&x&x&x&x\\\end{matrix}$

Vemos que temos no total 5 formas diferentes de ocupar as 7 casas decimais com os algarismos na sequência 132. Note que as 4 primeiras formas de escrever possuem o mesmo problema de x ser zero na casa mais à esquerda. então cada um deles tem o mesmo número de 9000 combinações

A última forma $left\begin{matrix} 1&3&2&&x&x&x&x\\\end{matrix}$ possui $10\times10\times10\times10=10000$ combinações, por que a casa ocupada pelo 1 já garante que será número de 7 algorismos.

A quantidade de número que obedecem as regras solicitadas é então de

$4\times9000+10000=36000+10000=46000$

b)

Para que um número $\left\begin{matrix} x&x&x&x&x&5\\\end{matrix}$ seja mútiplo de 5, ele deve ter o último algorismo igual a zero ou 5:

$\left\begin{matrix} x&x&x&x&x&0\,\, ou\\x&x&x&x&x&5\\\end{matrix}$.

As possíveis formas de se ter dois algarismos 3  com o primeiro algorismo na primeira casa (a casa mais à esquerda) é:

$\left\begin{matrix} 3&x&x&x&3&0\\3&x&x&3&x&5\\3&x&3&x&x&5\\3&3&x&x&x&0\end{matrix}$

Ou seja, 4 formas distintas.

Com o primeiro algorismo 3 na segunda casa (mas sem ter 3 na primeira casa porque já foi obtido acima), teremos 3 possibilidades.

ou seja. de forma geral teremos 4+3+2+1=10 formas possíveis de distribuir dois digitos 3 nas 5 casas restantes.

Como cada número pode terminar com 0 ou 5, temos então $10\times2=20$ combinações.

Resta então calcular o que acontece com as outras casas ainda não ocupadas.

Como queremos que se tenha apenas dois dígitos 3, então as outras casas só podem comportar 9 números.

Caso a primeira casa seja 3, teremos $4\times2\times9\times9\times9=5832$ números diferentes

Como a primeira casa à esquerda não pode ser zero, então haverá terá apenas 8 números disponíveis quando esta casa não for 3.

Então teremos $(3+2+1)\times2\times9\times9\times9=8748$ números diferentes.

O total será dada pela soma $5832+8748=14580$