Question

quantos multiplos de 3, formados por 3 algarismos distintos podem ser formados com, 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Answer 1

Resposta: 180 múltiplos de 3 podem ser formados com três algarismos distintos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Explicação passo a passo:

Podemos utilizar da aritmética módulo 3 para nos auxiliar a responder esta tarefa.

Seja n = "xyz" um número de três algarismos distintos, com x, y, z ∈ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Pela relação de congruência módulo 3, podemos particionar o conjunto A em três classes de equivalência (classes de restos, mod 3):

    $[0]_A=\{a\in A:~a\equiv 0\pmod{3}\}=\{3,\,6,\,9\};$

    $[1]_A=\{a\in A:~a\equiv 1\pmod{3}\}=\{1,\,4,\,7\};$

    $[2]_A=\{a\in A:~a\equiv 2\pmod{3}\}=\{2,\,5,\,8\}.$

Perceba que as classes de equivalência são duas a duas disjuntas, a reunião de todas as classes é igual ao conjunto A, e que todas as classes possuem a mesma cardinalidade (mesma quantidade de elementos).

Obs.: No decorrer desta resposta, omitirei o A subscrito quando alguma das classes de equivalência for mencionada, pois subentende-se que estamos trabalhando somente com os elementos de A.

Critério de divisibilidade por 3: Seja n um número natural escrito no sistema de numeração decimal (base 10). Então n é divisível por 3 se e somente se a soma dos algarismos de n é divisível por 3.

Logo, devemos ter

    $x+y+z\equiv 0~\pmod{3}.$

Dentre as formas possíveis de satisfazer essa soma, podemos ter

• Caso 1:  x, y, z são elementos de três classes de restos distintas:

    $(x,\,y,\,z)\in [0]\times [1]\times [2]$     (e todas as suas permutações)

A quantidade de maneiras que podemos formar com x, y, z elementos de classes distintas é

    $P_3\cdot \#([0])\cdot \#([1])\cdot \#([2])\\\\=3!\cdot 3\cdot 3\cdot 3\\\\=6\cdot 27\\\\=162\qquad\checkmark$

• Caso 2:  x, y, z são todos elementos da mesma classe de restos.

De fato, caso haja dois algarismos elementos da mesma classe, para que o número seja múltiplo de 3, é necessário que o terceiro algarismo também seja elemento desta mesma classe.

Logo, podemos ter uma das três possibilidades abaixo:

    $(x,\,y,\,z)\in [0]\times [0]\times [0]$

    $(x,\,y,\,z)\in [1]\times [1]\times [1]$

    $(x,\,y,\,z)\in [2]\times [2]\times [2]$

Para cada um dos casos acima, a quantidade de maneiras que o podemos formar o número é

    $P_3=3\cdot 2\cdot 1=6$

Como são três casos distintos e disjuntos, a quantidade de maneiras que o número pode ser formado com os três algarismos distintos da mesma classe é

    $3\cdot P_3=3\cdot 6=18\qquad\checkmark$

Portanto, a resposta para o problema é

    $=162+18\\\\ =180\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Podem ser formados 180 múltiplos de 3, com três algarismos distintos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

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Bons estudos! :-)