Question

quantos lados possui o polígono convexo que tem 54 diagonais ? e o que tem 119 diagonais ??

Answer 1

D = [n (n - 3)] / 2

n = n° de lados

54 = [n (n - 3)] / 2
54 = [n² - 3n] / 2
54 . 2 = n² - 3n
108 = n² - 3n
-n² + 3n + 108 = 0
   a = -1
   b = 3
   c = 108
      n = [- b ± √(b² - 4ac)] / 2a
      n = [- 3 ± √(3² - 4 . [-1] . 108)] / 2 . (-1)
      n = [- 3 ± √(9 + 432)] / -2
      n = [- 3 ± √441] / -2
      n = [- 3 ± 21] / -2
      n' = [- 3 + 21] / -2 = 18 / -2 = -9
      n" = [- 3 - 21] / -2 = -24 / -2 = 12
As raízes da equação são -9 e 12. Mas, a raiz -9 não serve, pois n° de lados só pode ser positivo. Sendo assim, n = 12. Ou seja, é um dodecágono.
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119 = [n² - 3n] / 2
119 . 2 = n² - 3n
238 = n² - 3n
-n² + 3n + 238 = 0
      n = [- 3 ± √(3² - 4 . [-1] . 238)] / 2 . (-1)
      n = [- 3 ± √(9 + 952)] / -2
      n = [- 3 ± √961] / -2
      n = [- 3 ± 31] / -2
      n' = [- 3 + 31] / -2 = 28 / -2 = -14
      n'' = [- 3 - 31] / -2 = -34 / -2 = 17
As raízes da equação são -14 e 17. Mas, a raiz -14 não serve, pois n° de lados só pode ser positivo. Sendo assim, n = 17. Ou seja, é um heptadecágono.

Espero ter ajudado. Valeu!