Question

quantos elementos possui esse conjunto de solução da equação?

Answer 1

$\left|x\right|^{2}-7\left|x\right|+10=0$

Devemos resolver esta equação em duas etapas:


a) para $x \geq 0$

Temos que

$\left|x\right|=x\\ \\ \left|x\right|^{2}=x^{2}$


Substituindo na equação, temos

$x^{2}-7x+10=0\\ \\ x^{2}-2x-5x+10=0\\ \\ x \cdot \left(x-2 \right )-5\cdot \left(x-2 \right )=0\\ \\ \left(x-2 \right )\cdot \left(x-5 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-2=0&\text{ ou }&x-5=0 \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=2&\text{ ou }&x=5 \end{array} }$


As duas soluções acima são válidas, pois satisfazem a restrição inicial: $x \geq 0$.


b) para $x<0$

Temos que

$\left|x\right|=-x\\ \\ \left|x\right|^{2}=\left(-x\right)^{2}\Rightarrow \left|x\right|^{2}=x^{2}$


Substituindo na equação, temos

$x^{2}-7\left(-x \right )+10=0\\ \\ x^{2}+7x+10=0\\ \\ x^{2}+5x+2x+10=0\\ \\ x \cdot \left(x+5 \right )+2 \cdot \left(x+5 \right )=0\\ \\ \left(x+5\right)\cdot \left(x+2 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+5=0&\text{ ou }&x+2=0 \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=-5&\text{ ou }&x=-2 \end{array}}$


Novamente, as soluções acima são válidas, pois satisfazem a restrição inicial: $x<0$.


Logo, o conjunto solução desta equação é

$S= \left\{-5,\,-2,\,2,\,5 \right \}$

e este conjunto possui $4$ elementos.