Question

Quantos diagonais tem o poligono regular cujo ângulo interno mede 135 graus?

Answer 1

Olá, boa noite!

Admitindo que:

ai: ângulo interno
Si: soma dos ângulos internos
n: número de ângulos
d: diagonal

Sabe-se que a medida de um ângulo interno é calculada pela fórmula:
ai = Si / n ⇒ Si = ai.n, (I)

Sabemos também que o cálculo da soma dos ângulos internos é dada pela fórmula:

Si = 180º . (n - 2), (II)

Aplicando a equação (I) em (II), temos:

ai.n = 180º (n - 2)
135ºn = 180ºn - 360º
45ºn = 360º
n = 8 lados

Agora basta calcularmos o número de diagonais:

d = n/2 (n - 3)
d = 8/2 (8-3)
d = 4 . 5
d = 20 diagonais

Abraços"!

Answer 2

O valor do ângulo interno de um polígono de $n$ lados é dado por

$a_i=\dfrac{(n-2)\cdot180}{n}$

Substituindo o valor do ângulo interno dado na fórmula acima, temos:
$135=\dfrac{(n-2)\cdot180}{n}$
$135\cdot n=180\cdot n-2\cdot180$
$135n-180n=-360$
$-45n=-360$
$n=\dfrac{-360}{-45}$
$n=8$

Temos então que o polígono regular com ângulo interno medindo 135º é o octógono (8 lados). 

Para descobrir quantas diagonais tem um polígono convexo, vamos usar a seguinte fórmula:
$D=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$

Substituindo o valor encontrado, temos:
$D=\dfrac{8\cdot(8-3)}{2}$
$D=\dfrac{40}{2}=20$

Portanto, o octógono regular tem 20 diagonais.