Question

Quantos códigos Alfa-Numéricos de 7 dígitos DISTINTOS (ALFA E NUMERICAMENTE) se podem obter, sabendo que:

--> Os dígitos a preencher com letras são apenas 2 e iniciam o código ..e o 2ª digito é uma vogal

--> Os algarismos utilizados no restante código são apenas 6, diferentes de ZERO ..e a soma dos 2 últimos é 8


(considere 26 letras no alfabeto)


Resolução detalhada por favor

Answer 1

Seja N o número de códigos que satisfazem as condições dadas.

Seja ainda um código C qualquer com 7 algarismos distintos.

C = D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7, onde D1,D2, D3, ... São os dígitos desse código.

Temos apenas 6 dígitos diferentes de zero, onde D6+D7 = 8

Para essa condição poderíamos ter

0+8, 1+7, 2+6, 3+5, 4+4, 8+0, 7+1, 6+2 ou 5+3.

Mas, os algarismos são diferentes de zero e distintos, portanto

0+8, 8+0, 4+4 não satisfazem as condições dadas.

Restam

1+7, 7+1, 2+6, 6+2, 3+5, 5+3


Possibilidades para D6 e D7


D6 e D7 => 6 possibilidades


Possibilidades para o dígito D5

D5 => 4 possibilidades (dois algarismos foram utilizados para os dígitos D6 e D7)

Possibilidades para o dígito D4

D4 => 3 possibilidades

Possibilidades para o dígito D3

D3 => 2 possibilidades

Possibilidades para o dígito D2

A-E-I-O-U => 5 vogais.

D2 => 5 possibilidades

Possibilidades para o primeiro dígito, D1

25 letras (pois uma já foi utilizada para o dígito D2)

D1 => 25 possibilidades

N = 25.5.2.3.4.6
N = 18000

Podemos obter 18000 (dezoito mil) códigos com as condições dadas.

Answer 2

-> As letras '' A '' indicaram o uso de arranjos , '' P '' para permutação

-> Para a escolha do 2° dígito teríamos a possibilidade de escolher 5 vogais, então :
 $A_{5,1}$

-> Para a escolha do 1° dígito teríamos a possibilidade de 25 letras ( porque uma vogal já foi escolhida para o segundo dígito ) , então: 

$A_{25,1}$

-> Para a escolha que dos dois últimos algarismos teríamos que satisfazer a condição de que a soma dos mesmo seria 8 , então :

( 1 , 7 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 5 ) são os únicos números que satisfazem a condição ( visto que o algarismo 0 não pode ser utilizado por que existe uma restrição ao mesmo ).

-> Então para preencher os dois últimos algarismo teríamos a possibilidade de escolha de um desses grupos que devem ser permutados entre si ( porque os algarismos não devem aparecer na ordem estabelecida por mim nos grupos ) e depois o resultado multiplicado por 3 porque existe mais de um grupo , então para os dois últimos algarismos teríamos :

$1 . P_{2}. 3$

-> Como no código só foram utilizados 6 algarismos e eu já utilizei 2 algarismos para  compor os dois últimos dígitos então restariam 4 algarismos para compor 3 dígitos , logo :

$A_{4,3}$

-> Agora vou realizar o cálculo de tudo :

$A_{25,1}.A_{5.1}.A_{4,3}.1.P_{2}.3$
$\frac{25!}{24!} . \frac{5!}{4!} \frac{4!}{1!} .1 . 2 . 3$
$25.5.4.3.2.1.2.3$
18000

-> Então teríamos 18000 códigos alfa-numéricos distintos que podem ser formados