Question

Quanto é o resto da divisão de 3 elevado a 2013 por 7?

Answer 1

o resultado vai dar 7764,428571  e o resto e 3

Answer 2

Vou tentar simplificar o máximo possível, dentro das possibilidades.
Para resolver esta questão é importante que você saiba que ao se dividir por um número qualquer, o maior resto possível é este número (o divisor menos 1). Por exemplo, ao dividir por 5 o maior resto possível é 5-1=4; e mais os restos vão se sucedendo numa ordem, por exemplo, de 0 até 4, no caso de se dividirem os números naturais por 5. Depois, eles vão se repetindo, por exemplo, dividindo os números de 0 até 4 por 5, vc encontra os restos 0 até 4, nesta ordem, de 5 até 9, os restos se repetem de 0 até 4, de 10 até 14, e assim sucessivamente.
Quando vc eleva um número a um certo expoente, acontece coisa semelhante, mas sem seguir a ordem dos naturais. Vamos ver sito com o que pede o problema que vc apresenta.
3 elevado a 0 dividido por 7, dá resto 1; 3 elevado a 1, dividido por 7 dá resto 3; 3 elevado a 2, dividido por 7 dá resto 2; 3 elevado a 3, dividido por 7 dá resto 6; 3 elevado a 4, dividido por 7 dá resto 4; 3 elevado a 5, dividido por 7 dá resto 5; 3 elevado a 6, dividido por 7 dá resto 1. aqui podemos parar, pois como dito acima, os restos se repetirão, vamos fazer mais um, só para confirmar: 3 elevado a 7, dividido por 7 dá resto 3. Então restos se repetirão assim: 1, 3, 2, 6, 4, 5. Temos então, seis restos possíveis. Vamos fazer uma tabelinha, para facilitar a visualização:
  POSIÇÃO          BASE       EXPOENTE       RESTO   |    
         1                       3                   0                       1        |     
          2                      3                   1                       3        |    
          3                      3                   2                       2        |       
          4                      3                   3                       6        |       
         5                       3                   4                       4        |      
          6                      3                   5                       5        |      
                                  3                   6                       1

Repare que o restos das divisões de 3⁰ e 3⁶  são iguais a 1, etc.
Mas, como fazer para encontrar uma potência que não está na tabela?
Neste nosso caso, temos 6 restos possíveis; se você dividir um expoente por seis (que é a quantidade de restos) nós encontramos a posição que a potência ocupa e, consequentemente, o resto da divisão. Vamos testar com o que está na tabela. Por exemplo, qual o resto de 3 elevado a 6 dividido por 7. Pegamos o expoente 6, dividimos pela quantidade de restos, que é 6: isto dá 1, resto 0. Este resto 0 indicará a posição na tabela em que se encontra a potência e daí o resto que procuramos, (atenção: este resto não é a resposta, ele indica onde vamos encontrá-la). Bom, então, se deu resto 0, quer dizer que é o primeiro da tabela. Verificando, vc identifica que o resto é 1.
Se, na divisão pela quantidade de restos (o nosso caso, seis) desse resto 1, seria o segundo, se desse resto 2 o terceiro até o resto 5, que seria o sexto.
Então, qual é a resposta do problema?
Vc pega o expoente 2013, divide por 6 (quantidade de restos) e observa o resto da operação. Vejamos: 2013: 6 = 335, resto 3.
Então, se deu resto 3 quer dizer que é o quarto da tabela. Vamos lá olhar e vemos que é o resto 6.

Resposta: resto 6