Question

Quanto é a soma de todos os números positivos ímpares até 2013, menos a soma de todos os números positivos pares até 2013.

Answer 1

Usaremos cálculos de uma sequência de Progressão Aritmética.

Primeiramente a soma de ímpares até 2013...

Observe que é uma sequência de ímpares assim: {1,3,5,7...2013} 
Primeiramente devemos descobrir a quantidade de números da progressão pela fórmula: $\alpha _n = \alpha _1 + (n-1)r$  , sendo que a razão r=2 1--3--5--7 ... sempre somam 2[/tex] 
$\alpha _n = 2013 \alpha _1 = 1$

Resolvendo a equação, n(número de termos) = 1006

Sabendo que temos o número de termos da progressão, podemos usar a fórmula da SOMA DOS TERMOS DA PA: $S_n = \frac{( \alpha _1 + \alpha _n) n}{2}$
Resolvendo a soma dos termos fica =506521

Agora faça o mesmo para os números pares, de sequência: {2,4,6,8...2012}

Terá que a soma dos termos é a mesma. Sn= 506521

Portanto, a subtração dos dois resulta 0 (Zero)

Boa noite!!! 

Answer 2

P.A dos números ímpares de 1 até 2013: $(1, 3, 5, 7, 9, ..., 2013)$

$a_{1} = 1$
$a_{2} = 3$

$r = a_{2} - a_{1} => 3 - 1 => r = 2$

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$
$2013 = 1 + (n - 1)2$
$2013 - 1 = (n - 1)2$
$2012 = (n - 1)2$
$2012/2 = n - 1$
$1006 = n - 1$
$1006 + 1 = n$
$n = 1007$

$S_{n} = (a_{1} + a_{n}) * n / 2$
$S_{1007} = (a_{1} + a_{1007}) *1007/2$
$S_{1007} = (1 + 2013)*1007/2$
$S_{1007} = 2014*1007/2$
$S_{1007} = 1007*1007$
$S_{1007} = 1014049$
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P.A dos números pares de 1 até 2013: $(2, 4, 6, 8,10, ..., 2012)$

$r = a_{2} - a_{1} = 4 - 2 => r = 2$

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$
$2012 = 2 + (n - 1)2$

Colocando 2 em evidência:

$2012 = 2(1 + n - 1)$
$2012 = 2n$
$2012/2 = n$
$n = 1006$

$S_{n} = (a_{1} + a_{n}) * n / 2$
$S_{1006} = (a_{1} + a_{1006})*1006/2$
$S_{1006} = (2 + 2012)*503$
$S_{1006} = 2014*503$
$S_{1006} = 1013042$
____________________________________

$1014049 - 1013042 = 1007$