Question

Quanto é a cossec de 75°?

Answer 1

Calcular a cossecante de 75°.

Sabemos que a cossecante é o inverso do seno. Portanto,

     $\mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{1}{sen\,75^\circ}}$


Podemos reescrever 75° como a soma de dois ângulos notáveis. Por exemplo:

     75° = 45° + 30°


Então, para calcular o seno de 75°, aplicamos a fórmula para o seno da soma:

     $\mathsf{sen\,75^\circ=sen(45^\circ+30^\circ)}\\\\ \mathsf{sen\,75^\circ=sen\,45^\circ\,cos\,30^\circ+cos\,45^\circ\,sen\,30^\circ}\\\\ \mathsf{sen\,75^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,75^\circ=\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot 2}+\dfrac{\sqrt{2}\cdot 1}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{sen\,75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\\\\\ \mathsf{sen\,75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$


Portanto,

     $\mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{1}{sen\,75^\circ}}\\\\\\ \mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{1}{~\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}~}}\\\\\\ \mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$


Podemos racionalizar os denominadores. Multplique o numerador e o denominador por $\mathsf{(\sqrt{6}-\sqrt{2}):}$

     $\mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{4\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}}$


No denominador aparece o produto da soma pela diferença. Expanda esse produto e simplifique os radicais:

     $\mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{4\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}}\\\\\\ \mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{4\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}}\\\\\\ \mathsf{cossec\,75^\circ=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 4\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\diagup\!\!\!\! 4}}$

     $\mathsf{cossec\,75^\circ=\sqrt{6}-\sqrt{2}\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)