Question

Quantas soluções a equação trigonométrica sen x = raiz quadrada de 1 - cos x admite no intervalo [0, 80pi]?

Answer 1

$\mathsf{senx=\sqrt{1-cosx}}$

$\mathsf{sen^2x=1-cosx}$

$\mbox{Lembre que:}\\\boxed{sen^2x+cos^2x=1}\to sen^2x=1-cos^2x$

$\mathsf{1-cos^2x=1-cosx}$

$\mathsf{cos^2x=cosx}$

A partir daqui resolvemos como se fosse uma equação normal do segundo grau.

$\mathsf{y^2=y}$

$\mathsf{y_1=0}\\\mathsf{y_2=1}$

Agora, substituindo de volta o y por cos x:

$\mathsf{cosx=0\to x_1=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;x_2=\dfrac{3\pi}{2}}\\\\\mathsf{cosx=1\to x_3=0+2\pi k}$

Repare que aquele "k" multiplicando 2π indica o número de voltas completas que aquela solução deu no ciclo trigonométrico. Temos que chegar com esse "k" até um valor máximo que não ultrapasse 80π para saber o número de soluções.

Mas, primeiro vamos ver qual dessas soluções que achamos que realmente satisfazem a equação dada:

$\mathsf{senx=\sqrt{1-cosx}}$

$\boxed{x\to\dfrac{\pi}{2}}$

$\mathsf{sen\dfrac{\pi}{2}=\sqrt{1-cos\dfrac{\pi}{2}}}$

$\mathsf{1=\sqrt{1-0}}$

$\mathsf{1=1}\to$ x=π/2 é uma solução.

$\boxed{x\to\dfrac{3\pi}{2}}$

$\mathsf{sen\dfrac{3\pi}{2}=\sqrt{1-cos\dfrac{3\pi}{2}}}$

$\mathsf{-1=\sqrt{1-0}}$

$\mathsf{-1=1}$

x = 3π/2 não é uma raiz.

$\boxed{x\to0}$

$\mathsf{sen0=\sqrt{1-cos0}}$

$\mathsf{0=\sqrt{1-1}}$

$\mathsf{0=0}$

x = 0 é uma solução.

Agora, vamos ver quantas voltas cada uma dá no ciclo trigonométrico, de forma a satisfazer a equação.

Primeiro vamos ver de π/2:

Para ficar mais fácil, vamos fazer como se fosse uma PA de termo π/2 e razão 2π.

$\mathsf{(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\cdots)}$

Fazendo alguns cálculos é possível perceber que o maior termo dessa PA, e menor que 80π, é 157π/2.

Utilizando a equação geral da PA, achamos o número de termos, que seria o número de soluções:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}$

$\dfrac{157\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+(n-1)\cdot2\pi$

$\dfrac{157\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=n\cdot2\pi$

$\dfrac{160\pi}{2}=n\cdot2\pi$

$n=40$

Agora, para 0, sabendo que o último termo é 80π:

$80\pi=0+(n-1)\cdot2\pi$

$80\pi+2\pi=n\cdot2\pi$

$n=41$

Dessa forma, achamos o número de soluções para cada. Somando tudo, achamos o número de soluções dentro do intervalo [0, 80π] que satisfazem a equação trigonométrica.

$40+41\Rightarrow\boxed{81}$

Então, há 81 soluções para essa equação trigonométrica.

Answer 2

Vamos lá.

Bem, você informa que não tem opções.
Então a ser verdade que o intervalo do arco "x" será o que está dado, que é este:
[0; 80π], poderemos fazer o seguinte, a partir da equação dada, que é esta:

sen(x) = √(1-cos(x) ) ---- vamos elevar ambos os membros ao quadrado, para eliminar o radical do 2º membro. Com isso, ficaremos com:

sen²(x) = 1 - cosx ----- agora note que sen²(x) = 1-cos²(x). Então, substituindo sen²(x) por "1-cos²(x), ficaremos assim:

1 - cos²(x) = 1 - cos(x) ---- vamos passar o 2º membro para o 1º, ficando:
1 - cos²(x) - 1 + cos(x) = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- cos²(x) + cos(x) = 0 ---- note que poderemos multiplicar ambos os membros por "-1" sem nenhum problema, com o que ficaremos assim:

cos²(x) - cos(x) = 0 ---- agora vamos colocar cos(x) em evidência, ficando:

cos(x)*[cos(x) - 1] = 0 ---- note que temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Então teremos estas possibilidades:

ou
cos(x) = 0 -----> cos(x)' = 0

ou
cos(x) - 1 = 0 -----> cos(x)'' = 1

Agora veja: em todo o círculo trigonométrico o cosseno é "0" nos arcos de 90º (ou π/2) e 270º (ou 3π/2).
E, também em todo o círculo trigonométrico, o cosseno é igual a "1" no arco de 0º (ou 0).

Mas antes vamos ver se os arcos de 90º (ou π/2), de 270º (ou 3π/2) e de 0º verificam a expressão original, que é esta: sen(x) = √(1-cos(x) ).

i) Para x = 90º (ou π/2), teremos:

sen(90º) = √(1-cos(90º) ---- como sen(90º) = 1 e cos(90º) = 0, teremos:

1 = √(1 - 0)
1 = √(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
1 = 1 ------- Perfeito. Então o arco de 90º é uma raiz válida em todo o círculo trigonométrico.

ii) Para x = 270º (ou 3π/2), teremos:

sen(270º) = √(1-cos(270º) --- como sen(270º) = -1 e cos(270º) = 0, teremos:

 - 1 = √(1 - 0)
- 1 = √(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
-1 = 1 <---- absurdo. Logo, a raiz para x = 270º NÃO é válida.

iii) Para x = 0º , teremos:

sen(0º) = √(1-cos(0º) ---- como sen(0º) = 0 e cos(0º) = 1, teremos:
 
0 = √(1 - 1)
0 = √(0) ----- como √(0) = 0, teremos:
0 = 0 <---- perfeito. Então a raiz para x = 0 é uma raiz válida.

iv) Assim, como você viu, em todo o círculo trigonométrico, temos apenas duas raízes válidas, que seriam as raízes que dão os arcos de: x = 90º e de x = 0º.

Ora, mas como o intervalo que queremos é o intervalo [0; 80π], então vamos ver quantos graus vão resultar de 80π. Assim: 80*180º = 14.400º.

Mas em 14.400º são dadas quantas voltas no círculo trigonométrico? Para saber isso, vamos dividir 14.400º por 360º. Assim:

14.400/360º = 40 voltas completas.

Ora se em um círculo trigonométrico há apenas 2 raízes válidas , que são x = 90º e x = 0º , então em 40 voltas completas vamos ter:

40*2 = 80 soluções <----- Esta deverá ser a resposta. Por isso é que perguntamos se a questão fornecia opções. Se fornecesse iríamos perguntar se uma das opções seria esta: 80 soluções.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.