Question

Quantas raizes reais tem o polinomio p(x)= $x^{4} -8 x^{3} +15 x^{2} +80x-250,$ se uma das raizes é (4+3i)?

Answer 1

Como p(x) possui apenas coeficientes inteiros e o complexo $4+3i$ é raiz do polinômio, o conjugado desse complexo também é raiz de p(x). Isto é, $4-3i$ é raiz de p(x).

Agora, sabemos duas raízes do nosso polinômio de grau 4. Desse modo, se o fatorarmos, obteremos um novo polinômio de grau 2. Feito isso, basta que utilizemos a fórmula de Baskhara para encontrarmos as soluções restantes.

Fatorando o polinômio pelo método de Briot-Ruffini:

→ Usando a raiz 4+3i:

$~~~~~~~~~~~~~~~\begin{matrix} 1&&~~-8&&~~~~~15&&~~~~80&&-250\end{matrix}\\ \begin{matrix} 4+3i&&1&&-4+3i&&-10&&40+30i\end{matrix}~~~~~|\underline{0}$

Obtemos o polinômio $x^3+(-4+3i)x^2-10x+(40+30i)$.

→ Usando a raiz 4-3i:

$\begin{matrix} &&1&&-4+3i&&-10&&40+30i\\ 4-3i&&1&&0&&-10&&|\underline{0} \end{matrix}$

Obtemos o polinômio $x^2-10$.

Nesse último, podemos calcular as raízes como:

$x^2-10=0\\\\ x^2=10\\\\ x=\pm\sqrt{10}$

Logo, as outras raízes são $-\sqrt{10}$ e $\sqrt{10}$. Veja que podemos escrever nosso polinômio como:

$p(x)=(x-(4-3i))(x-(4+3i))(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})$

Resumindo, as raízes de p(x) são: $4-3i$, $4+3i$, $-\sqrt{10}$ e $\sqrt{10}$. Portanto, são 2 raízes reais.