Question

quantas raízes racionais possui o polinômio p(x)= 2x⁴+3x³+9x²+6x+10.

cálculos pfv!!!​

Answer 1

Analisando o polinômio descrito, é possível fatora-lo em um produto de dois polinômios do segundo grau:

$p(x) = 2x^{4} +3x^{3} +9x^{2} +6x+10\\p(x) = 2x^{4}+3x^{3} +4x^{2}+5x^{2}+6x+10\\p(x) = 2x^2(x^2+2) + 3x^{3}+5x^{2}+6x+10\\p(x) = 2x^2(x^2+2) + 3x(x^{2}+2)+5x^{2}+10\\p(x) = 2x^2(x^2+2) + 3x(x^{2}+2)+5(x^{2}+2)\\p(x) =(2x^{2}+3x+5)(x^{2}+2)$

Seja $g(x) = 2x^{2} +3x+5$ e $f(x) = x^{2} + 2$

Assim, as raízes desses dois polinômios são as próprias raízes de p(x).

$f(x) = x^{2} + 2\\0 = x^{2} + 2\\x^{2} = - 2\\x = +-\sqrt{-2} \\x = +-(\sqrt{2} \sqrt{-1}) \\x = +-\sqrt{2} i$

$g(x) = 2x^{2} + 3x + 5\\\\0 = 2x^{2} + 3x + 5\\\\x = \frac{-3+-\sqrt{3^{2} - 4 . 2 . 5} }{2 . 2} \\\\x = \frac{-3+-\sqrt{9 - 40} }{4} \\\\x = \frac{-3+-\sqrt{9 - 40} }{4} \\\\x = \frac{-3+-\sqrt{-31} }{4} \\\\x = \frac{-3+-\sqrt{31}\sqrt{-1} }{4} \\\\x = \frac{-3+-\sqrt{31}i }{4}$

Logo, visto que Q ⊂ R e as raízes encontradas ∉ R, o polinômio p(x) não possui raizes racionais.