Question

quantas maneiras podemos organizar essas 10 pessoas nesse ônibus conforme formem casais homem e mulher ou mulher e homem?

Answer 1

Inicialmente vamos considerar que do lado direito do ônibus tenhamos apenas homens e do lado esquerdo apenas mulheres. Sendo assim, basta permutarmos os homens nos lugares à direita e permutarmos as mulheres à esquerda:
P5.P5 = 5!.5! = 120.120 = 14400

Entretanto, na questão, temos que contabilizar também o fato de que à direita eu posso ter nenhuma mulher (condição que já calculamos) até 5 mulheres ocupando os assentos deste lado do ônibus (observe que consequentemente o lado esquerdo será ocupado pelos homens, logo já estamos considerando aqui as combinações possíveis).
Temos então:
- nenhuma mulher à direita = C5,0 = 1 (H H H H H - 1 possibilidade)
- uma mulher à direita = C5,1 = 5 (o M pode ocupar uma das 5 posições: M H H H H, H M H H H, H H M H H, H H H M H e H H H H M) 
- duas mulheres à direita = C5,2 = 10 (dois M para ocupar 5 posições)
- ... até cinco = C5,5 = 1 (M M M M M)

Logo o número de combinações total desta segunda parte é (não estamos considerando que homens e mulheres são diferentes entre si porque isto foi levado em conta na primeira parte, estamos apenas combinando posições H e M em fileiras e lados no ônibus):
C5,0 + C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

Quem lembrar do triângulo de Pascal pode verificar que o que temos acima é a soma dos elementos de uma linha (no nosso caso n = 5, cujo resultado é dado por 2^n = 2^5 = 32). Imagine se fossem 30 fileiras no ônibus em vez de 5... o trabalho de somar todas as combinações acima seria monstruoso.

Finalmente, o cálculo das possibilidades é dado por:

N = 5!.5!.2^5 = 120.120.32 = 460800.