Question

- quantas diagonais tem um polígono regular cuja medida do ângulo interno é o quádruplo da medida do ângulo externo?

Answer 1

Esse polígono regular de 10 lados tem 45 diagonais.

Diagonais de um polígono:

A soma do ângulo interno de um polígono é

Si = (n - 2) x 180

Para saber o valor de cada ângulo interno, então dividimos pelo número de lados:

Ai =  ((n - 2) x 180)/n

Já a soma do ângulo externo é igual 360º sempre, então para saber o valor de cada ângulo externo fazemos a divisão:

Ae = 360/n

Como o ângulo interno é o quádruplo do externo, temos:

Ai = 4Ae = 4 x (360/n)  

Com isso, podemos igualar a equações Ai =  ((n - 2) x 180)/n e Ai = 4Ae = 4 x (360/n)   para descobrir o valor de n:

$\frac{(n-2) \times 180}{n}=\frac{4 \times 360}{n}\\ \\ (n-2)\times180 = 1440\\\\(n-2) = 1440/180\\\\n - 2 = 8\\\\n = 8 + 2 \\\\n = 10$

Encontramos n = 10, logo esse polígono terá 10 lados. Para saber quantas diagonais podem ser traçadas, utilizamos a fórmula:

$d = \frac{n\times(n-3)}{2}\\ \\d = \frac{10\times(10-3)}{2}\\ \\d = \frac{10\times 7}{2} \\\\d = 70/2\\\\d = 35$

Esse polígono de 10 lados tem 45 diagonais.

Saiba mais sobre o diagonais de um polígono em: https://brainly.com.br/tarefa/46415123

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