Question

Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?

a) 4 845 comissões
b) 2 345 comissões
c) 3 485 comissões
d) 4 325 comissões​​

Answer 1

Resposta: a) 4 845 comissões

Explicação passo-a-passo:

$C(n,p) = \frac{n!}{((n-p)!p!)}\\\\C(20,4) = \frac{20!}{(20-4!)4!}\\\\C(20,4) = \frac{20!}{16!4!}\\\\C(20,4) = \frac{20!}{16! * 4!}\\\\C(20,4) = \frac{ 20*19*18*17*16!}{16!4!}\\\\C(20,4) = \frac{ 20*19*18*17}{4!} * \frac{16!}{16!}\\\\C(20,4) = \frac{ 20*19*18*17}{4*3*2*1}\\\\C(20,4) = \frac{116.270}{24}$

C(20,4) =  4.845 combinações possíveis.

Quando desejamos encontrar o número de combinações possíveis para uma situação onde temos N opções totais de escolha e desejamos montar um grupo com P elementos destas opções (sem possibilidade de repetição) então teremos

. N opções para preencher a vaga 1 no grupo;

. N-1 opções para preencher a vaga 2 no grupo;

. N-2 opções para preencher a vaga 3 no grupo;

...

. N-(P-2) = N-P+2 opções para preencher a vaga n-1 no grupo;

. N-(P-1) = N-P+1 opções para preencher a vaga n no grupo;

Por que N-(P-1) e não N-P para a vaga P? Pois começamos a nossa contagem com a primeira vaga e não com a "vaga zero", por isso a contagem de P e N aparecem defasadas.

Portanto o número de combinações possíveis para esta configuração é de

N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)

Esta multiplicação também pode ser reescrita através da notação da operação FATORIAL como N! / (N-P)! pois sendo N > P temos que

N! = N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*3*2*1

= N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)*(N-P)*(N-P-1)*...*3*2*1

(N-P)! = (N-P)*(N-P-1)*(N-P-2)*...*3*2*1

Ou seja

N! / (N-P)!

$= \frac{N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)*(N-P)*(N-P-1)*...*3*2*1}{(N-P)*(N-P-1)*(N-P-2)*...*3*2*1)}\\\\= \frac{N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1) * (N-P)*(N-P-1)*...*3*2*1}{(N-P)*(N-P-1)*(N-P-2)*...*3*2*1}\\\\= \frac{N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)* (N-P)!}{(N-P)!}\\\\= N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1) * \frac{(N-P)!}{(N-P)!}\\\\= N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1) * 1\\\\= N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)$

Tendo compreendido que nossa quantidade total de combinações de P elementos, entre um total de N elementos, será de N! / (N-P)! temos agora que observar uma última coisa: a ordem destes elementos importa? Se tivermos P! diferentes combinações com os mesmos elementos, ou seja, a ordem interna do grupo se alternando entre si (o que chamamos de PERMUTAÇÃO) isso é desejável ou não é?

Caso a resposta seja não então deveremos excluir os casos onde existe permutação entre os elementos do grupo através de uma divisão pelo número P! de permutações, tendo então o que chamamos de uma ARRANJO SIMPLES, onde nossa combinação poderá ser escrita na forma de C(n,p) e o número total de combinações é de

C(n,p) = n! / ((n-p)! * p!)

Caso a resposta seja sim então não iremos excluir as permutações e nosso total de combinações permanecerá sendo de n! / (n-p)!.

♥? ★★★★★? Melhor resposta? Você decide.  

Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦