Question

Quando você divide o polinômio $x^{3}$+6$x^{2}$-x-6 por x + 1 , você tem uma divisão exata e um quociente Q (x) . Quais os valores reais de x que tornam o polinomio Q (x) igual a 0 

Answer 1

Dividir polinômios é como dividir dois números. Como exemplo, 132/12.
132   | 12
  1       1
Baixa o 2
132   | 12
  12     1

132   | 12
  12     11
    0
E a resposta é 11

Com polinômios, fazemos o mesmo:
x³+6x²-x-6    | x+1
Porém, a ideia é sempre cancelar o termo de maior expoente. Portanto, primeiro achamos um y tal que (x³+6x²-x-6) - y(x+1) consiga ao menos cancelar o x³.
Para isso, escolhemos y = x²
x³+6x²-x-6    | x+1
     5x²           x²
Repare que se escolhemos x², então vamos SUBTRAIR de x³+6x²-x-6 o valor x²(x+1)=x³+x². Sobrou então apenas 5x²-x-6.
x³+6x²-x-6    | x+1
     5x²-x-6     x²
Agora, tentamos cancelar o 5x². Vamos escolher então 5x, já que 5x(x+1)=5x²+5x, e quando subtrairmos isso de 5x²-x-6, não sobrará mais o 5x².
x³+6x²-x-6    | x+1
     5x²-x-6     x²+5x
        -6x-6
Sobrou então -6x-6. Para eliminar o -6x, temos que multiplicar o (x+1) por -6.
x³+6x²-x-6    | x+1
     5x²-x-6     x²+5x-6
        -6x-6
              0
Terminamos, então (x³+6x²-x-6)/(x+1)=x²+5x-6, com resto 0.

Agora, queremos saber para que valores Q(x)=x²+5x-6=0
Basta encontrar as raízes de x²+5x-6, usando Bhaskara.
x=[-b +- raiz(b²-4(a)(c))]/(2a)
x=[-5 +- raiz(5²+-4(1)(-6))]/(2*1)
x=[-5 +- raiz(49)]/2
x=(-5 +- 7)/2
x'=(-5+7)/2=1
x''=(-5-7)/2=-6

Os valores de x que tornam Q(x)=0 são 1 e -6.