Question

Quando temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral do PVI é da forma y (x)=d1y1(x)+d1y2(x), onde y1(x) e y2(x) são duas soluções da EDO que tem o wronskiano diferente de zero. Para encontrar as soluções y1(x) e y2(x) , podemos utilizar o método dos coeficientes indeterminados (ou variação de parâmetros), e o tipo de solução dependerá da equação característica. Resolva a equação diferencial y"+ 5Y=0 com valores y(0)=1 e Y(1)=5

Answer 1

Olá,

Calculando as raízes da equação característica teremos:

$f(x)=y"+ 5Y=0\\ \\ \\  m^{2}+5=0\\ m=+-\sqrt{5}i$

Note que encontramos raízes complexas, logo nossa resposta terá o modelo de:

$y=e^{ax}(C1.cos(bt) +C2 sen(bt))$

Onde ''a'' é nossa parte real da raiz (0) e ''b'' a parte imaginária.

Substituindo teremos:

$y=e^{0x}(C1.cos(\sqrt{5}t ) +C2 sen(\sqrt{5}t ))\\ \\ y=C1.cos(\sqrt{5}t ) +C2 sen(\sqrt{5}t )$

Montando o sistema com as informações de valores iniciais teremos:

$y=C1.cos(\sqrt{5}t ) +C2 sen(\sqrt{5}t )\\ \\ y'=-\sqrt{5}C1.sen(\sqrt{5}t ) +\sqrt{5}.C2.cos(\sqrt{5}t )\\ \\ y''=-5.C1.cos(\sqrt{5}t ) -5.C2.sen(\sqrt{5}t )\\ \\ \\ \\ y''(0)=1\\ \\  1=-5.C1.cos(\sqrt{5}.0 ) -5.C2.sen(\sqrt{5}.0 )\\ \\ 1=-5C1\\ \\ C1=\frac{-1}{5} \\ \\ \\ Y(1)=5\\ \\ 5=\frac{-1}{5}cos(\sqrt{5} ) +C2 sen(\sqrt{5} )\\ \\ 5=-0,057+C2.-0,96\\ \\ C2=-5,27\\ \\ y=\frac{-1}{5}cos(\sqrt{5}t )-5,27sen(\sqrt{5}t )$

Espero ter acertado os calculos e consequentemente ter te ajudado, abraço.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Calculando as raizes da equação.

Y2 +5=0

Y= +- √5 i  

Ao encontrar raizes complexas, faremos o modelo.

Y= eat  (C1.cos (bt) + C2 sen (bt)

Onde a è  a parte real da raiz e b a parte imaginaria.

Substituindo teremos.

Y=eat (C1.cos(√5 t) + C2 sen (√5 t))

Y= C1 cos(√5 t) + C2 sen (√5 t)  

Subistituindo com as condicoes iniciais  fornecida pelo enunciado.

Y(0) = 1

1= C1 cos (√5 .0) + C2 sen (√5 .0)

1= C1.1+0

C1=1

Y(1) = 5

5= 1cos (√5 .1) + C2 sen (√5 .1)

5= cos (√5 ) + C2 sen (√5 )

C2 =  5-cos(√5 )/ sen (√5 )

C2= 7,14

Logo a solucao e equação:

Y= cos (√5t ) + 7,14 sen (√5t )