Question

Quando queremos obter a equação do plano, é necessário conhecer um ponto desse plano e o vetor normal dele. Imaginando e visualizando bem o que está dado, fica notável como determinar o vetor normal. O plano alfa que passa pelo ponto A=(1, 0, 2) é perpendicular aos planos 1: 3x-2y-z-6=0 e 2:x-2y+4z-3=0.
Determine a equação do plano alfa

Answer 1

A equação do plano α é da forma ax + by + cz = d.

Como α é perpendicular aos planos 3x - 2y - z - 6 = 0 e x - 2y + 4z - 3 = 0, então o produto vetorial entre os vetores normais desses dois planos será igual ao vetor normal do plano α.

O vetor normal do plano 3x - 2y - z - 6 = 0 é u = (3,-2,-1) e o vetor normal ao plano x - 2y + 4z - 3 = 0 é v = (1,-2,4).

Daí:

|i j k|

|3 -2 -1| = -10i - 13j - 4k = (-10,-13,-4)

|1 - 2 4|

Assim, -10x - 13y - 4z = d.

O plano α passa pelo ponto A = (1,02).

Então:

-10.1 - 13.0 - 4.2 = d

-10 - 8 = d

d = -18

Portanto, a equação do plano α é: 10x + 13y + 4z = 18.