Question

Quando o inteiro x é dividido pelo inteiro y, o quociente é q e o resto é r. Qual é o resto da divisão de x + 2qy por y?

Answer 1

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Temos $\mathsf{x}$ e $\mathsf{y}$ inteiros.

Fazendo a divisão de $\mathsf{x}$ por $\mathsf{y},$ obtemos $\mathsf{q}$ como quociente e $\mathsf{r}$ como resto.


Devemos ter então,

$\mathsf{x=q\cdot y+r}$


Somando $\mathsf{2qy}$ a ambos os membros, obtemos

$\mathsf{x+2qy=2qy+qy+r}\\\\ \mathsf{x+2qy=3qy+r}\\\\ \mathsf{x+2qy=q'\cdot y+r}\qquad\qquad\textsf{onde }\mathsf{q'=3q.}$


Pela última igualdade acima, concluimos que

•   o quociente da divisão de $\mathsf{x+2qy}$ por $\mathsf{y}$ é $\mathsf{q'=3q;}$

•   o resto da divisão de $\mathsf{x+2qy}$ por $\mathsf{y}$ também é $\mathsf{r.}$


Isso é esperado, pois adicionamos ao dividendo inicial um múltiplo inteiro de $\mathsf{y},$ de modo que o resto da divisão permaneceu o mesmo.


Resposta:   o resto da divisão de $\mathsf{x+2qy}$ por $\mathsf{y}$ é $\mathsf{r}.$


Bons estudos! :-)