Question

Quando a curva $C_1:y=x^3-x$ é deslocada $a$ unidades ao longo do eixo x $(a>0)$, resulta na curva $C_2:y=(x-a)^3-(x-a)$

Expresse a área limitada pelas curvas $C_1$ e $C_2$ em termos de $a$

Answer 1

Para calcular a área limitada entre as curvas, vamos primeiro analisar os limites de integração, que são os pontos de interseção entre as curvas:

$x^3-x=x^3-3x^2a+3xa^2-a^3-x+a\\\\0=-3x^2a+3xa^2-a^3+a\\\\3ax^2-3a^2x+a^3-a=0\\\\\\x'=\frac{3a^2+\sqrt{9a^4-12a(a^3-a)}}{6a}\\\\x'=\frac{3a^2+\sqrt{9a^4-12a^4+12a^2}}{6a}\\\\x'=\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}\\\\x''=\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}$

Para que a interseção exista, é necessário que o radicando seja não negativo:

$3a^2(4-a^2)\geq0$

$(4-a^2)\geq0\\\\a^2\leq4\\\\0 < a\leq 2$

Voltando às interseções, como sabemos que 'a' é estritamente positivo:

$x'=\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}=\frac{3a^2+a\sqrt{3(4-a^2)}}{6a}\\\\x''=\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}=\frac{3a^2-a\sqrt{3(4-a^2)}}{6a}$

Perceba que, qualquer que seja 'a' reestrito ao nosso intervalo, x' é continuamente sempre maior que x''.

$\int_{x''}^{x'}|C_2-C_1|dx\\\\\int_{x''}^{x'}|x^3-3ax^2+3a^2x-a^3-x+a-(x^3-x)|dx\\\\\int_{x''}^{x'}|-3ax^2+3a^2x-a^3+a|dx$

Perceba que o integrando se iguala à equação que resolvemos no começo para encontrar as interseções, porém com os sinais trocados. Apesar disso, as raízes são os mesmos números x' e x'' encontrados anteriormente, o que quer dizer que o sinal da função não muda entre esses pontos, o que nos permite não se preocupar com o módulo, pois como a concavidade do integrando é para baixo, sabemos que entre as raízes o valor da função é positiva.

$\int_{x''}^{x'}(-3ax^2+3a^2x-a^3+a)dx\\\\-ax^3+\frac{3}{2}a^2x^2-a^3x+ax\Bigr|_{x''}^{x'}\\\\-a(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^3+\frac{3}{2}a^2(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^2-a^3(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})+a(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})-\\(-a(\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^3+\frac{3}{2}a^2(\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^2-a^3(\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})+a(\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}))$

$a((\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^3-(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^3+\frac{3}{2}a^2(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}-(\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})^2)^2+a^3((\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})-(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})+a(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}-(\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a}))$

$a(\frac{(3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)})^3-(3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)})^3}{216a^3})+\frac{3}{2}a^2(\frac{(3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)})^2-(3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)})^2}{36a^2})\\+a^3((\frac{3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)}-(3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)})}{6a})+a(\frac{3a^2+\sqrt{3a^2(4-a^2)}-(3a^2-\sqrt{3a^2(4-a^2)})}{6a})$

$a(\frac{(27a^6-27a^4\sqrt{3a^2(4-a^2)}+9a^2(3a^2(4-a^2))-(\sqrt{3a^2(4-a^2)})^3}{216a^3}\\-(\frac{(27a^6+27a^4\sqrt{3a^2(4-a^2)}+9a^2(3a^2(4-a^2))+(\sqrt{3a^2(4-a^2)})^3}{216a^3}))+$

$\frac{3}{2}a^2(\frac{(9a^4+6a^2\sqrt{3a^2(4-a^2)}+(3a^2(4-a^2)))-(9a^4-6a^2\sqrt{3a^2(4-a^2))}+(3a^2(4-a^2))}{36a^2})+a^3(\frac{-2\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})+a(\frac{2\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})$

$a(\frac{(-54a^4\sqrt{3a^2(4-a^2)}-2(\sqrt{3a^2(4-a^2)})^3}{216a^3})+\frac{3}{2}a^2(\frac{(12a^2\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{36a^2})+a^3(\frac{-2\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})+a(\frac{2\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6a})$

$a(\frac{(-a\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{4}-\frac{(\sqrt{3a^2(4-a^2)})^3}{108a^3})+\frac{3}{2}a^2(\frac{(\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{3})+a^2(\frac{-\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{3})+(\frac{2\sqrt{3a^2(4-a^2)}}{6})$

Caso seja do interesse, é possível continuar a simplificação, mas esta já é uma expressão que dá a área entre as curvas C1 e C2 para qualquer 'a' pertencente ao conjunto.