Question

Qual valor da constante k, se possível, faz com que a função abaixo fique contínua em toda parte?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases}kx {}^{2} , \: se \: x \leqslant 2 \\ 2x + k, \: se \: x >2 \end{cases}$

A questão quer saber qual o valor de "k" que torna essa função contínua. Para isso vamos iniciar relembrando os requisitos para que uma função seja contínua:

$\bullet \: f(x) \to \: definida \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bullet \: \bullet\lim_{x\to a {}^{ - } }f(x) = \lim_{x\to a {}^{ + } }f(x) \\ \\ \bullet \bullet \bullet \lim_{x\to a}f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para determinar o valor de "k", vamos seguir esses passos acima.

• Condição 1):

Para determinar se a função é definida, basta olharmos os sinais. Note que temos x ≤ 2, ou seja, pelo sinal de igual já podemos ver que ela é sim definida, então:

$f(2) = k \: \cdot \: x {}^{2} \: \: \to \: \: f(2) = k \: \cdot \: 2 {}^{2} \\ \boxed{ f(2) = 4k}$

Vamos guardar essa informação.

• Condição 2):

Analisando os limites laterais ao redor do ponto em que x = 2, temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to2 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to2 {}^{ - } }f(x)$

Quando "x" tende a 2 pela direta (+), temos que ele se aproxima de 2 por valores maiores que 2, ou seja, devemos usar a funcão correspondente a um x > 2, ou seja, a função 2x + k. Do mesmo jeito quando x tende a 2 pela esquerda, ele se aproxima de 2 por valores menores que 2, então devemos usar a função k . x². Fazendo isso:

$\: \: \: \: \: \lim_{x\to2 {}^{ + } } 2x + k= \lim_{x\to {2}^{ - } }k \: \cdot \: x {}^{2} \\ 2.2 + k = k \: \cdot \: 2 {}^{2} \\ 4 + k = k \: \cdot \: 4 \\ 4k - k = 4 \\ 3k = 4 \\ \boxed{k = \frac{4}{3} }$

Esse é o valor de "k". Agora vamos testar a última condição e ver se a função é de fato contínua. Mas antes vamos substituir o valor de k na condição 1):

$f(2) = \frac{4}{3} \: \cdot \: 4 \: \to \: f(2) = \frac{16}{3}$

Vamos substituir também na relação dos limites laterais, pois assim observaremos a igualdade:

$\: \: \: \: \: \lim_{x\to2 {}^{ + } } 2x + k= \lim_{x\to {2}^{ - } }k \: \cdot \: x {}^{2} \\ 2.2 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \: \cdot \: 2 {}^{2} \\ 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \\ \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \to \exists\lim_{x\to2}f(x)$

Os limites laterais são de fato iguais.

• Condição 3):

$\: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to2}f(x) = f(x) \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \to \: cont \acute{i}nua}$

Espero ter ajudado