Question

Qual o volume do sólido no espaço xyz limitado pelas superfícies y = x² , y= 2-x² ,z=0 ; z= y+ 3 ?

Answer 1

Boa noite!

Para calcular o volume desse sólido, precisamos apenas integrar a função f(x)=1 na região delimitada. Isto é:

$V=\int\int\int{\text{d}z}\,{\text{d}y}\,{\text{d}x}$

Antes de colocar os limites, precisamos determinar os limites da superfície em relação à variável x. Para tal, vamos tomar os limites y = x² e y= 2-x² e igualá-los, ou seja,

$y=x^2=2-x^2$
$x^2=2-x^2$
$2x^2=2$
$x^2=1$
$x=\pm{1}$

Isto é, temos que -1 < x < 1. Você pode se perguntar de onde veio esse resultado. A ideia é que as curvas y = x² e y= 2-x² devem se encontrar em dois pontos, delimitando assim a região em reação ao eixo x. Se você ficou com dúvidas, tente desenhar a região dada, não é difícil!

Colocando os limites dados explicitamente, temos:

$V=\int_{-1}^{1}\int_{x^2}^{2-x^2}\int_{0}^{y+3}{\text{d}z}\,{\text{d}y}\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\int_{x^2}^{2-x^2}\left.z\right|_{z=0}^{z=y+3}{\text{d}y}\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\int_{x^2}^{2-x^2}(y+3){\text{d}y}\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\left.\left(\frac{y^2}{2}+3y\right)\right|_{x^2}^{2-x^2}\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\left[\frac{(2-x^2)^2}{2}+3\cdot{(2-x^2)}-\frac{(x^2)^2}{2}-3\cdot{x^2}\right]\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\left[\frac{4-4x^2+x^4}{2}+6-3x^2-\frac{x^4}{2}-6x^2\right]\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\left[2-2x^2+6-3x^2-6x^2\right]\,{\text{d}x}$
$V=\int_{-1}^{1}\left[-11x^2+8\right]\,{\text{d}x}$
$V=\left[-\frac{11x^3}{3}+8x\right]_{x=-1}^{x=1}$
$V=-\frac{11\cdot{1^3}}{3}+8\cdot{1}+\frac{11\cdot{(-1^3)}}{3}-8\cdot(-1)$
$V=-\frac{11}{3}+8-\frac{11}{3}+8$
$V=-\frac{22}{3}+16$
$V=\frac{-22+48}{3}$
$V=\frac{26}{3}$

Portanto, o volume da região é 26/3 u.v.