Question

no intervalo [-1,11/5] as curvas são dadas por: y1 = raiz quadrada de 5x + 5 e y2 = 5/4 x + 5/4 qual é o valor da area em destaque entre as curvas

Answer 1

O Intervalo dado é [-1,11/5], como y1 nunca será negativa, então da para calcular a área A utilizando uma única integral no intervalo dado. A área a, será dada pela integral de y1 menos a área de um triângulo de uma altura que é a imagem de y2 quando x é 11/5 e base que é o tamanho do intervalo, você também pode integrar a função y2 no intervalo porém da mais trabalho. Irei primeiro calcular a área abaixo de y1, depois subtrair da área do triângulo.
$\int\limits^{ \frac{11}{5} }_{-1} { \sqrt{5(x+1)} } \, dx = \sqrt{5} \int\limits^{ \frac{11}{5} }_{-1} { \sqrt{(x+1)} } \, dx$
chamando x+1 = u
du = dx
temos
$\sqrt{5} \int\limits^{ \frac{16}{5} }_{0} { \sqrt{u} } \, du = \sqrt{5} ( \frac{2x \sqrt{x} }{3} \left \right|_{ 0} }^{ \frac{16}{5} } ) = \frac{128}{15}$
Agora vamos calcular a área AT do triângulo, que é( dizendo que f(x) = y2):

$AT = \frac{(|-1- \frac{11}{5}|f( \frac{11}{5}) }{2} = \frac{64}{10}$
portanto, a área entre as duas funções é:

$\frac{128}{15} - \frac{64}{10} = \frac{32}{15}$