Question

Qual o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo que o perímetro da base mede 24√3cm e o apótema d pirâmide mede 10 cm

Answer 1

O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:

$\boxed{V=\frac{A_b*h}{3}}$

Como a base é um hexágono regular, a fórmula para encontrar sua área é:

$\boxed{A_b=\frac{6l^2\sqrt{3}}{4}}$

Porém, antes temos que descobrir o valor da aresta da base, mas com os dados do exercício isso é possível. Sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados de um polígono, e o hexágono possui 6 lados, por isso:

$\boxed{P=6l}\\\\ 24\sqrt{3}=6l\\\\ l=\frac{24\sqrt{3}}{6}\\\\ \boxed{l=4\sqrt{3}\ cm}$

Pronto, agora podemos encontrar a área da base:

$A_b=\frac{6*(4\sqrt{3})^2*\sqrt{3}}{4}\\\\ A_b=\frac{6*(16*3)\sqrt{3}}{4}\\\\ A_b=\frac{288\sqrt{3}}{4}\\\\ \boxed{A_b=72\sqrt{3}\ cm^2}$

Agora, para encontrar o volume, precisamos da altura da pirâmide....

Devemos lembrar que a altura, com a altura de um triângulo equilátero da base e o apótema da pirâmide formam um triângulo retângulo, cujo apótema é a hipotenusa. Antes, precisamos encontrar o valor dessa altura:

$\boxed{h=\frac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\ h=\frac{4\sqrt{3}*\sqrt{3}}{2}\\\\\ h=2*3\\\\ \boxed{h=6\ cm}$

Agora, pelo teorema de pitágoras:

$10^2=h^2+6^2\\\\ 100=h^2+36\\\\ h^2=100-36\\\\ h^2=64\\\\ \boxed{h=8\ cm}$

Ufa... agora sim, podemos encontrar o volume:

$V=\frac{A_b*h}{3}\\\\ V=\frac{72\sqrt{3}*8}{3}\\\\ V=\frac{576\sqrt{3}}{3}\\\\ \boxed{V=192\sqrt{3}\ cm^3}$