Question

Qual o vetor $\bar{v}$ que forma ângulos iguais com (1,0,0) e (0,0,1), é ortogonal a $\bar{u} = (2,-2,2), |\bar{v}| = \sqrt{24}$, sendo agudo o ângulo que $\bar{v}$ forma com (0,1,0).

a. $\bar{v} = (2,-4,2)$
b. $\bar{v} = (1,2,1)$
c. $\bar{v} = (2,4,-2)$
d. $\bar{v} = (2,4,2)$

Obs: Justifique sua resposta com cálculos.

Answer 1

Para comprovar a ortogonalidade de um vetor qualquer pertencente ao espaço vetorial $\mathbb{R}^{n}$ o produto interno entre dois vetores deve ser = 0:
$\ \textless \ \vec{a}|\vec{b}\ \textgreater \ =0$
no espaço vetorial $\mathbb{R}^3$
com as bases $\hat{i},~\hat{j},~\hat{k}$
$\displaystyle \ \textless \ \vec{v}|\vec{u}\ \textgreater \ =2v_x-2v_y+2v_z=0$
considerando as projeções, precisamos encontrar valores que fazem a igualdade acima ser verdadeira:
$\displaystyle \ \textless \ \vec{v}|\vec{u}\ \textgreater \ =2v_x-2v_y+2v_z=0\\i)~~~2\cdot1-2\cdot2+2\cdot1=2-4+2=0\implies x=1,y=2,z=1\\\\ii)~~2\cdot2-2\cdot4+2\cdot2=4-8+4=0\implies x=2,y=4,z=2\\\\iii)~2\cdot4-2\cdot8+2\cdot4=8-16+8=0\implies x=4,y=8,z=4$
comparando os vetores que encontramos, precisamos encontrar aquele que possua módulo igual ao apresentado pela questão:
$\displaystyle \|\vec{a}\|=\sqrt{\sum_{i'=1}^3a_i^2}\\\\\|\vec{1}\|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\\\\\|\vec{2}\|=\sqrt{2^2+4^2+2^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}\\\\\|\vec{3}\|=\sqrt{4^2+8^2+4^2}=\sqrt{16+64+16}=\sqrt{96}$
o vetor que satisfaz a condição dada pela questão foi o 2º:
$\vec{v}=2\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}=\ \textless \ 2,4,2\ \textgreater$
perceba que:

$\ \textless \ \vec{v}|\hat{i}\ \textgreater \ =2\implies \sqrt{24}\cos\phi=2\implies \cos\phi=\frac{2}{\sqrt{24}}=\frac{\sqrt{24}}{12}\\\arccos\left(\frac{\sqrt{24}}{12}\right)\approx1,14rad\approx60\º\\\\ \ \textless \ \vec{v}|\hat{k}\ \textgreater \ =2\implies \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{24}}\implies \theta=\phi$
60º é um ângulo obtuso e os ângulos formados entre v e î, é o mesmo que v e $\hat{j}$ são os mesmos.

resposta é a letra D:
$\boxed{\vec{v}=2\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}=\ \textless \ 2,4,2\ \textgreater \ }$