Qual o Valor Dessas Inequações?
Soluções para a tarefa
Boa noite.
a) -2x² +7x -3 >= 0
Para começar encontraremos as raízes.
Função do segundo grau tem como gráfico uma parábola.
Como a é negativo (a = -2), a parábola é voltada para baixo.
Então a parte positiva (maior ou igual a zero):
== possibilidade 1: estará entre as raízes que houverem. A inequação foi pedida ser igual a zero porque incluirá as raízes, também chamadas de zeros da função.
== possibilidade 2: não existirá, se o delta for negativo, pois o gráfico ficará abaixo do eixo x e por isso não terá raízes nem parte positiva.
Por Bháskara, temos;
∆ = 7² -4(-2)(-3) = 49 -24 = 25
x = (-7 + - √25)/(2(-2)) = (-7 + - 5)/-4
x' = -2/-4 = 1/2
x" = -12/-4 = 3
Opa... raízes!
Portanto, a parte da função dada que é maior ou igual a zero é o conjunto {x ∈ R | 1/2 < x < 3},que também pode ser escrito na forma do intervalo fechado [1/2, 3].
b) (x²-9)*(x² -7x +10) < 0
Podemos resolver essa inequação de diversas maneiras. Uma forma é realizar o produto indicado e depois achar as raízes de uma equação de grau 4 (x^4). Outra mais rápida é fatorar toda a expressão. Como o grau final é 4, isso indica que as raízes são 4, no total. Vamos procurá-las fatorando.
(x-3)(x+3)(x-5)(x-2) < 0
Agora igualamos todos os fatores a zero, um de cada vez, encontrando a raiz de cada um.
Depois montamos os intervalos a partir de cada raiz encontrada, observando que:
== onde o intervalo é negativo, ele assume o sinal negativo: -
== onde o intervalo é positivo, ele assume o sinal positivo: +
== como as raízes não estão incluídas nos intervalos (são pedidos apenas os valores que sejam menores que zero), a bola indicativa é aberta.
Na imagem abaixo você pode acompanhar a resolução por intervalos, utilizando as quatro raízes encontadas: -3, 2, 3 e 5. Note que todas as representações indicam intervalos abertos.
Resposta:
{x ∈ R | -3 < x < 2 ou 3 < x < 5},
ou ]-3, 2[ U ]3, 5[
ou (-3, 2) U (3, 5)
