Question

Qual o valor de x?
Segue a questão

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Primeiro vou listar as propriedades de potência que vamos usar ao decorrer do cálculo.

$\begin{cases} a {}^{ - n} = \frac{1}{a {}^{n} } \\ \\ \sqrt[m]{a {}^{n} } = a {}^{ \frac{n}{m} } \end{cases}$

Somente essas duas, uma para expoentes negativos e outro para transformar um radical em potência.

Vamos começar transformando o radical em potência.

$\boxed {\sqrt{4 {}^{x + 1} } = \frac{1}{16 {}^{x + 1} } } \\ \\(4{}^{x + 1} ) {}^{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{16 {}^{x + 1} }$

Agora vamos transformar aquela fração em uma potência de expoente negativo.

$(4 {}^{x + 1} ) {}^{ \frac{1}{2} } = (16 {}^{x + 1} ) {}^{ - 1}$

Teve uma propriedade que esqueci de citar, mas usaremos a potência de potência, onde multiplicamos os expoentes que estão elevados ao outro expoente.

$(4 ) {}^{(x + 1). \frac{1}{2} } = (16) {}^{(x + 1).( - 1)} \\ \\ (4) {}^{ \frac{x + 1}{2} } = 16 {}^{ -x - 1 }$

Vamos fatorar os números 4 e 16.

4 → 2²

16 → 2⁴

Substituindo:

$(2 {}^{2} ) {}^{ \frac{x + 1}{2} } = (2 {}^{4} ) {}^{ -x - 1}$

Aplicando a propriedade de potência de potência novamente:

$2 {}^{ \frac{2x + 2}{2} } = 2 {}^{ - 4x - 4} \\ \\ 2 {}^{ \frac{ \cancel2.(x + 1)}{ \cancel2} } = 2 {}^{ - 4x - 4} \\ \\ 2 {}^{x + 1} = 2 {}^{ - 4x - 4}$

Cancela as bases 2 e resolve a equação formada no expoente.

$x + 1 = - 4x - 4 \\ x + 4x = - 4 - 1 \\ 5x = - 5 \\ x = \frac{ - 5}{5} \\ \boxed{x = - 1} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️