Question

Qual o valor de x para que seja satisfeita a igualdade logc xb3= 1/2logc a+4logc b?

Answer 1

O valor de x que satisfaz a igualdade é b.√a.

Temos a seguinte igualdade: $log_c(x.b^3)=\frac{1}{2}.log_c(a) + 4.log_c(b)$.

Existe uma propriedade de logaritmo que nos diz que:

• logₐ(x.y) = logₐ(x) + logₐ(y) → soma de logaritmos de mesma base.

Sendo assim, vamos reescrever a igualdade da seguinte maneira:

$log_c(x) + log_c(b^3)=\frac{1}{2}.log_c(a) + 4.log_c(b)$.

Observe a seguinte propriedade que serve para quando o logaritmando possuir um expoente:

• $log_x(a^b)=b.log_x(a)$.

Então, vamos reescrever novamente a igualdade:

$log_c(x) + 3.log_c(b) = log_c(a^\frac{1}{2})+4.log_c(b)$

$log_c(x) = log_c(a^{\frac{1}{2}}) + 4.log_c(b) - 3.log_c(b)$

$log_c(x)=log_c(a^{\frac{1}{2}})+log_c(b)$.

Utilizando a propriedade da soma mais uma vez no lado direito da igualdade:

$log_c(x) = log_c(a^{\frac{1}{2}}.b)$.

Os logaritmos em ambos os lados possuem a mesma base.

Portanto, podemos concluir que x = b√a.