Question

Qual o valor de R para que as raízes da equação x² -(R-1)x+R-2=0, admita raízes reais e iguais

Answer 1

Resposta:

Para ter raízes iguais, basta ter ∆ = 0.

Explicação passo-a-passo:

Sabendo-se que ∆ = b² - 4ac e

a = 1

b = 1 - r

c = r - 2, vamos obter r.

∆ = (1 - r)² - 4.(1)(r - 2) = 0.

1 - 2r + r² - 4r + 8 = 0

r² - 6r + 9 = 0

Devemos resolver essa equação. Obtemos ∆ = 0 e depois r = 3.

Pronto! r = 3.

Answer 2

Para que a equação tenha raízes Reais e iguais R deverá corresponder a três, ou seja, R = 3.

Uma equação quadrática ou equação do segundo grau é dada pela forma (ax² + bx + c = 0) em sua forma geral. Por definição o coeficiente "a" deverá ser diferente de zero para que o termo quadrática exista !

Solucionamos a equação através da fórmula de Bhaskara, apresentada abaixo:

$x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \: \: \: \: \: \: > > > \Delta = {b}^{2} - 4ac$

Quando ∆ < 0, a equação não terá solução Real!

Para ∆ = 0, a equação terá duas raízes Reais e iguais!

Quando ∆ > 0, a equação terá duas raízes Reais distintas!

No caso apresentado na questão usaremos o Delta(∆) para solucionar!

x² - (R - 1)x + R - 2 = 0

Os coeficientes são:

a = 1

b = - (R - 1)

c = (R - 2)

$\Delta = {b}^{2} - 4ac \\ \\ \Delta = {( - (R - 1))}^{2} - 4.1.(R - 2) \\ \\ \Delta = (R - 1)^{2} - 4.(R - 2) \\ \\ \: \Delta = (R^{2}- 2.R + 1^{2}) - 4R + 8 \\ \\ \Delta = R^{2}- 2.R - 4R+ 1+ 8 \\ \\ \Delta = R^{2}- 6.R+ 9$

Como precisamos de raízes Reais e iguais, o Delta deverá ser zero!

$\Delta = R^{2}- 6R+ 9 \\ R^{2}- 6R+ 9= \Delta \\ \\ R^{2}- 6R+ 9 = 0$

Encontrando o Delta

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (- 6)² - 4.1.9

∆ = + 36 - 36

∆ = 0

Substituindo em Bhaskara para encontrar os possíveis valores de R

$x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \\ x = \dfrac{ - ( - 6)\pm \sqrt{0} }{2.1} \\ \\ x = \dfrac{ + 6 }{2} = 3$