Question

qual o valor de (a+b+c)²/2, sabendo que a²+b²+c²=10 e ab+ac+bc=8?

Answer 1

Para calcular o valor de (a + b + c)²/2, é preciso primeiro conhecer a seguinte identidade algébrica:

$\boxed{\mathsf{\big(a+b+c\big)^{2}=a^2+b^2+c^2+2\cdot \big(ab+ac+bc\big)}}$

, que é conhecida como quadrado da soma de três termos. O próprio enunciado do exercício nos fornece as duas equações abaixo:

$\begin{cases}\mathsf{a^2+b^2+c^2=10\qquad (i)}\\\\ \mathsf{ab+ac+bc=8\qquad (ii)}\end{cases}$

Agora, substituindo (i) e (ii) na identidade algébrica inicial, temos que o valor de (a + b + c)²/2 é obtido tal como se segue:

$\mathsf{\qquad\ \ \:\big(a+b+c\big)^{2}=\underbrace{\mathsf{a^2+b^2+c^2}}_{10}\,+\ 2\cdot \underbrace{\mathsf{\big(ab+ac+bc\big)}}_{8}}\\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ \big(a+b+c\big)^2=10+2\cdot 8}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ \big(a+b+c\big)^2=10+16}\\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ \big(a+b+c\big)^{2}=26}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ \dfrac{\big(a+b+c\big)^2}{2}=\dfrac{26}{2}}\\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\mathsf{\dfrac{\big(a+b+c\big)^2}{2}=13}}}$

Obs.: a identidade algébrica (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) é verdadeira para quaisquer a, b e c números complexos.