Question

qual o valor da soma de 6 meios geométricos inseridos entre -4 e 512 ?

Answer 1

Boa noite!

Se vamos colocar 6 meios entre esses dois números, passaremos a ter 8 termos, não é?

Assim, já temos $a_1$ , $a_8$ e $n$ , faltando apenas descobrirmos a razão $q$ , tudo bem?

Já conhecemos a fórmula do termo geral de uma PG. Ela é:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Ao substituirmos os dados do enunciado, ficamos com o seguinte:

$a_8=a_1\cdot q^7\\ \\ 512=(-4)\cdot q^7\\ \\ q^7=-128\\ \\ q^7= -2^7 \ \therefore \ \ \boxed{q=-2}$

Pronto, temos a razão dessa PG oscilante. Vou escrevê-la para ficar mais fácil de visualizar:

(PG) = (-4 ; 8; -16; 32; -64; 128; -256; 512)

Se fizermos a soma "na marra", encontramos o valor -168, que é a resposta, mas, como falamos de matemática, e se não fossem 6, mas 6 milhões de termos? Vamos calcular com elegância, dessa vez, considerando a₁ como 8 e a₆ o -256. Pela fórmula da soma dos termos de uma PG, temos:

$\boxed{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}\\ \\ \\ S_6=\dfrac{8\cdot[(-2)^6-1]}{-2-1}\\ \\ \\ S_6=\dfrac{8\cdot63}{-3}\\ \\ \\ S_6 = \dfrac{504}{-3}\\ \\ \boxed{S_6 = -168}$

Pronto. Espero que tenha entendido o raciocínio para resolver esse tipo de questão. Bons estudos!