Question

Qual o valor da integral dupla?

Answer 1

✅ Utilizando-se do teorema das integrais iteradas e teorema de Fubini tem-se que o resultado da integral é $\rm \tfrac{8}{3}$

 

☁️ Teorema de Fubini:

Se uma função for contínua num retangulo cujas limitações em x e y são dadas pelo produto cartesiano $\rm \mathbb{D} = [a, b] \times [c, d]$, então:

$\Large\underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \iint_{\mathbb{D}} f(x,y) \,dA = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y) \,dydx = \int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y) \,dxdy \qquad}}}$

 

ℹ️ O teorema nos diz que a ordem de integração não importa, desde que integremos a função em sua respectiva variável ao avaliar os limites de integração dados pelo domínio $\rm \mathbb{D}$ .

 

✍️ Resolvendo:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \int_{0}^{2}\!\!\int_{x^2}^{4x - x^2} \,dydx &=\displaystyle\rm \int_{0}^{2}\!\!\left[\int_{x^2}^{4x - x^2} \,dy\right]\,dx \\\\ &=\displaystyle\rm \int_{0}^{2} \Bigg[ ~y~ \Bigg]_{x^2}^{4x-x^2}\,dx \\\\&=\displaystyle\rm \int_{0}^{2} \left[ 4x-x^2 \right] - \left[ x^2 \right]\,dx \\\\&=\displaystyle\rm \int_{0}^{2} 4x-2x^2 \,dx \\\\&=\displaystyle\rm \left[ \dfrac{4x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} \\\\&=\displaystyle\rm \left[ {2 \cdot 2^2} - \frac{2\cdot 2^3}{3} \right] - \cancel{\left[ {2 \cdot 0^2} - \frac{2\cdot 0^3}{3} \right]} \\\\&=\displaystyle\rm 8 - \dfrac{16}{3} \end{aligned} \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: \int_{0}^{2}\!\!\int_{x^2}^{4x - x^2} \,dydx = \frac{8}{3} }}}}\end{array} \\\large\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare$

 

✔️ Essa é a solução da integral dupla.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integrais duplas, teorema de Fubini:

• https://brainly.com.br/tarefa/51033932
• https://brainly.com.br/tarefa/51433555

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$