Question

Qual o valor da integral

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Integrais Duplas, concluímos que o valor da integral é  π/8 .

Os limites de integração mostram que a região a ser integrada está entre as curvas   $y=0$ ,   $y=\sqrt{1-x^2}$ ,   $x=0$   e   $x=1$ . Como mostra a figura em anexo, é a parte do círculo   $x^2+y^2=1$  no primeiro quadrante.

Em coordenadas polares, a equação do círculo de raio  a  é  $r=a$ . Portanto, em polares, a região está ente as curvas   $r=0$ ,  $r=1$ ,  $\theta=0$  e  $\theta=\frac{\pi}{2}$ . Como $x^2+y^2=r^2$ , a integral

$\begin{array}{l}\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} x^{2} +y^{2} \ dydx=\int _{\theta =0}^{\pi/2}\int _{r=0}^{1} r^{2} \ rdrd\theta \\\\\displaystyle =\int _{0}^{\pi/2}\dfrac{r^{4}}{4}\Bigl|_{0}^{1} \ d\theta \\\\\displaystyle =\dfrac{1}{4}\Bigl[ \theta \Bigr]_{0}^{\pi/2}\\\\\displaystyle =\dfrac{\pi }{8}\end{array}$

∴     O valor da integral é  π/8   ✍️

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