Question

qual o resultado da equação z²(-10+20i)=

Answer 1

$z^{2}=-10+20i\\ \\ z=a+bi$

onde $a$ e $b$ são números reais.


Subtituindo na equação inicial, temos

$\left(a+bi \right )^{2}=-10+20i\\ \\ a^{2}+2abi+\left(bi \right )^{2}=-10+20i\\ \\ a^{2}+2abi-b^{2}=-10+20i\\ \\ \left(a^{2}-b^{2} \right )+2abi=-10+20i$


Para que estes dois números complexos sejam iguais, deve-se igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da igualdade:

$\left\{ \begin{array}{rcr} a^{2}-b^{2}&=&-10\\ 2ab&=&20 \end{array} \right.$


Isolando o produto $ab$ na segunda equação, temos

$ab=\dfrac{20}{2}\\ \\ ab=10$


Multiplicando os dois lados da primeira equação por $a^{2}$, temos

$a^{2}\left(a^{2}-b^{2} \right )=-10a^{2}\\ \\ a^{4}-a^{2}b^{2}=-10a^{2}\\ \\ a^{4}-\left(ab \right )^{2}+10a^{2}=0$


Substituindo $ab$ por $10$ na equação acima, temos

$a^{4}-\left(10 \right )^{2}+10a^{2}=0\\ \\ a^{4}+10a^{2}-100=0\\ \\ \\ \Delta=\left(10 \right )^{2}+4\cdot 1 \cdot 100\\ \\ \Delta=100+400\\ \\ \Delta=500\\ \\ \Delta=5 \cdot 10^{2}\\ \\ \\ a^{2}=\dfrac{-10 \pm 10\sqrt{5}}{2}\\ \\ a^{2}=-5 \pm 5\sqrt{5}$


Como $a^{2}$ é o quadrado de um número real, desprezamos o sinal de subtração e ficamos com

$a^{2}=5\sqrt{5}-5\\ \\ \boxed{a=\pm \sqrt{5\sqrt{5}-5}}$


Para encontrar $b^2$, substituindo na primeira equação, temos

$\left(5\sqrt{5}-5 \right )-b^{2}=-10\\ \\ b^{2}=5\sqrt{5}-5+10\\ \\ b^{2}=5\sqrt{5}+5\\ \\ \boxed{b= \pm \sqrt{5\sqrt{5}+5}}$


Da segunda equação do sistema inicial, concluímos que $a$ e $b$ devem ter o mesmo sinal. Logo, as soluções são:

$a=\sqrt{5\sqrt{5}-5}\;\;\;\text{ e }\;\;\;b=\sqrt{5\sqrt{5}+5}$

ou

$a=-\sqrt{5\sqrt{5}-5}\;\;\;\text{ e }\;\;\;b=-\sqrt{5\sqrt{5}+5}$


Como $z=a+bi$ é a solução da equação , então as soluções da equação $z^{2}=-10+20i$ são:

$\boxed{ \begin{array}{l} z_{1}=\sqrt{5\sqrt{5}-5}+\sqrt{5\sqrt{5}+5} \cdot i\\ \\ z_{2}=-\sqrt{5\sqrt{5}-5}-\sqrt{5\sqrt{5}+5} \cdot i \end{array} }$