Question

Qual o resto da divisão de 3^1000 por 101?

Answer 1

Olá Karosellerisa.


Produto notável usado:

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^(n - 1) + b . a^(n - 2) + ... + a . b^(n - 2) + b^(n - 1))

_____________

Pelo teorema de Fermat, se p é primo e não divisor de um inteiro a, temos que.

p | a^(p - 1) - 1

Então temos que

101 | 3^(10) - 1

Note que:

3^(1000) - 1 = [3^(10)]^(100) - 1

3^(1000) - 1 = (3^(10) - 1)(3^(10 . 99) + ... + 1)

Logo, 101 | 3^(1000) - 1

Portanto, 3^(1000) deixa resto 1 na divisão por 101.


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