Question

qual o numero de 5 algarismos que multiplicado por 9 tem como resultado esse mesmo numero so que ao contrario e como chegar no resultado??

Answer 1

Seja $X$ esse número de cinco algarismos. Vamos representar  $X$ da forma como o escrevemos, onde cada algarismo é representado pelas letras $a$, $b$, $c$, $d$ e $e$. Assim, devemos ter

$a,b,c,d,e \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

$X=\left[a \ b \ c \ d \ e \right],\text{ com } a \neq 0$

Dessa forma, podemos escrever

$X=10\ 000a+1\ 000b+100c+10d+e \\ \\ X=a \cdot 10^{4}+b \cdot 10^{3}+c \cdot 10^{2}+d \cdot 10^{1}+e \cdot 10^{0}$

Multiplicando esse número por $9$, temos

$9 \cdot X=9a \cdot 10^{4}+9b \cdot 10^{3}+9c \cdot 10^{2}+9d \cdot 10^{1}+9e \cdot 10^{0} \ \ \ \text{(1)}$

Mas o número acima, deve ser igual ao número $X$, só que escrito ao contrário. 

$9 \cdot X=\left[e \ d \ c \ b \ a \right],\text{ com } e \neq 0 \\ \\ 9 \cdot X=10\ 000e+1\ 000d+100c+10b+a \\ \\ 9 \cdot X=e \cdot 10^{4}+d \cdot 10^{3}+c \cdot 10^{2}+b \cdot 10^{1}+a \cdot 10^{0} \ \ \ \text{(2)}$

Pela relação inicial, devemos ter

$9a,9b,9c,9d,9e \in \{0,9,18,27,36,45,54,63,72,81\}$

Igualando as equações $\text{(1)}$ e $\text{(2)}$, temos

$9a \cdot 10^{4}+9b \cdot 10^{3}+9c \cdot 10^{2}+9d \cdot 10^{1}+9e \cdot 10^{0}=e \cdot 10^{4}+d \cdot 10^{3}+c \cdot 10^{2}+b \cdot 10^{1}+a \cdot 10^{0}\\ \\ 90\ 000a+9\ 000b+900c+90d+9e=10\ 000e +1\ 000d+100c+10b+a\\ \\ (90\ 000-1)a+(9\ 000-10)b+(900-100)c+(90-1\ 000)d+(9-10\ 000)e=0\\ \\ 89999a+8990b+800c-910d-9991e=0 \ \ \ \text{(3)}$

Assim, devemos tentar resolver a equação $\tex{(3)}$ acima, de cinco variáveis, onde cada variável pertence ao conjunto dos dez algarismos $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Como o algarismo $a$ não pode ser zero, temos um total de, no máximo

$9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^{4}= 90\ 000 \text{ possibilidades diferentes}$

para a solução. Testá-las todas seria inviável!

A equação $\tex{(3)}$ é uma equação diofantina de cinco variáveis, pois as variáveis só podem assumir valores inteiros, mais especificamente, valores do conjunto dos algarismos $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.