Question

Qual o menor valor do número natural n, que torna n! divisível por 1000?
a) 10
b) 15
c) 20
d) 30
e) 1000

Answer 1

b) 12

porque:
a)10 
10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1= 3 628 800
3628800/1000= 3 628,8 >>>>>>>>>>>>>Não é natural

c)20 
20! = 20*19*18*17* (...) *5*4*3*2*1= 2,432902008 *10^18
2,432902008 *10^18/1000= 2,432902008 *10^15 >>>>>é natural mas maior que o valor que dá na alinea b)

d)1000
1000!/1000 = é um valor que nem cabe na calculadora, tão grande que é

b)15
15! = 1,307674368*10^12
1,307674368*10^12/1000 = 1 307 674 38 >>>RESPOSTA CERTA

Answer 2

Com o estudo sobre o teorema fundamental da aritmética foi possível determinar o valor do número natural n, que torna n! divisível por 1000:

• b) 15

Teorema fundamental da aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo inteiro maior que 1 é um número primo ou pode ser expresso na forma de primos. Em outras palavras, todos os números naturais podem ser expressos na forma do produto de seus fatores primos.

Fatores primos são os números que são divisíveis por 1 e apenas por ele mesmo. Por exemplo, o número 35 pode ser escrito na forma de seus fatores primos como: 35 = 7 × 5 aqui, 7 e 5 são os fatores primos de 35

Dessa forma podemos resolver o exercício. Seja $E_p\left(a\right)$ o expoente de maior potência de p contida em a. Para que n! seja divisível por 1000 é necessário e suficiente que os expoentes de 2 e 5 em 1000, pois 1000 = 2³ . 5³, sejam menores ou iguais aos respectivos expoentes em n!. Em outras palavras:

$\begin{cases}E_2\left(n!\right)\ge 3&\\ E_5\left(n!\right)\ge 3&\end{cases}$

utilizando o algoritmo da conversão de um numeral de uma base para outra. Para n = 10:

10|___2___

0         5|__2___

           1      2|__2____

                  0        1|__2__

                            1    0

$E_2\left(10!\right)=5+2+1=8$

10|__5___

0     2|__5__

       2     0

$E_5\left(10!\right)=2$

Como o expoente de 5 em 10! é 2 concluímos que 10 ! não é divisível por 1000. Seguindo o mesmo raciocínio encontraremos como resposta letra b)15

Saiba mais sobre o teorema fundamental da aritmética:https://brainly.com.br/tarefa/53268586

#SPJ2