Question

qual o menor angulo entre os ponteiros de um relogio qualdo esta marcando 12 h 6 h 3h57min

Answer 1

Vamos lá

Veja, Jessica, que a resolução passa a ser simples, pois há uma fórmula bem prática (e segura) pra calcularmos qualquer ângulo formado pelos ponteiros de um relógio.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) A fórmula de que tratamos acima é dada assim:

α = |11m - 60h] / 2 ----- em que "α" é o ângulo formado (que poderá ser o menor ou o maior), "m" é o número de minutos, e "h" é o número de horas. Note que o "11m - 60h" está dentro de um módulo, significando dizer que mesmo que você encontre um número negativo, deve considerá-lo positivo, pois |-x| = |x| = x, ok?
Aí você poderá perguntar: e como vou saber que o resultado que encontrar é a medida do menor ou do maior ângulo? Resposta: é bem fácil: se você encontrar uma medida menor que 180º, então o ângulo encontrado será o menor; em caso contrário (ou seja, se o resultado encontrado for maior que 180º) então o ângulo encontrado será o maior. De qualquer forma, fica bem fácil de saber qual é o menor ângulo e o maior ângulo. Se você encontrar uma medida maior que 180º (quando estaria encontrando o maior ângulo) e se você quisesse encontrar a medida do menor ângulo, então é só subtrair de 360º o resultado encontrado, pois a circunferência completa de um relógio tem 360º. O mesmo raciocínio será aplicado se você encontrasse um resultado menor que 180º (quando estaria encontrando a medida do menor ângulo) e quisesse encontrar a medida do maior ângulo.

ii) Bem, vistos esses rápidos prolegômenos, vamos para as suas três questões, que é encontrar a medida do MENOR ângulo entre os ponteiros de um relógio que esteja marcando:

ii.a) 12h --- veja que podemos reescrever assim: 12h 0min.
Vamos para a fórmula:

α = |11m - 60h| / 2 ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
α = |11*0 - 60*12| / 2
α = |0 - 720| / 2
α = |-720| / 2 ---- como |-720| = 720, teremos:
α = 720 / 2
α = 360º <---- Veja que aqui encontramos a medida do maior ângulo, pois 360º é maior do que 180º. Então, para encontrar a medida do menor ângulo, basta subtrair de 360º a medida que acabamos de encontrar, que também é igual a 360º. Então, o menor ângulo formado será:

360º - 360º = 0º <--- Esta é a resposta para a primeira questão. Ou seja, esta é a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio que estiver marcando exatamente 12h.

ii.b) 6h --- veja que podemos reescrever assim: 6h 0min.
Vamos para a fórmula:

α = |11m - 60h| / 2 ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
α = |11*0 - 60*6| / 2
α = |0 - 360|
α = |-360| / 2 ---- como |-360| = 360, teremos:
α = 360 / 2
α = 180º ----- veja que o ângulo deu exatamente igual a 180º (portanto nem é o maior nem é o menor). Portanto, 180º é a medida exata do ângulo formado entre os ponteiros de um relógio que estiver marcando exatamente 6 horas.

Logo, a resposta para a 2ª questão será:

α = 180º <--- Esta é a resposta para a 2ª questão. Ou seja, quando um relógio estiver marcando 6 horas, o ângulo formado entre os ponteiros do relógio será único e medirá 180º. Em outras palavras, isso significa que quando um relógio está marcando exatamente 6 horas não existe nem o menor ângulo nem o maior ângulo. Ele será único e medirá 180º.

ii.c) 3h 57min
Vamos aplicar a fórmula:

α = |11m - 60h| / 2 ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
α = |11*57 - 60*3| / 2
α = |627 - 180| / 2
α = |447| / 2 ----- como |447| = 447, teremos:
α = 447 / 2
α = 223,5º ----- como este ângulo é maior que 180º, então esta medida é do maior ângulo. E, para saber qual é a medida do menor, vamos subtrair de 360º a medida acima encontrada. Logo:

360º - 223,5º = 136,5º <--- Esta é a resposta para a 3ª questão. Ou seja, um relógio que estiver marcando 3h 57min, o menor ângulo formado entre os seus ponteiros tem a medida de 136,5º.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.