Question

qual o limite lim x tendendo a 4 raix x-3, -1/x^2-16

Answer 1

Resolução da questão, observe:

Vamos fazer a mudança da variável ''x'' por ''3 + u²'', veja:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{x~\to~4}~\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x^{2}-16}}}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~1}~\dfrac{\sqrt{3+u^{2}-3}-1}{(3+u^{2})^{2}-16}}}}\\\\\\\\ \dfrac{-1+\sqrt{u^{2}}{(u^{2}+3)^{2}-16}}}\\\\\\\\ \dfrac{\mathsf{|u|-1}}{\mathsf{u^{4}+6u^{2}-7} }}}\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{\displaystyle\lim_{u~\to~1}~\dfrac{u-1}{u^{4}+6u^{2}-7}}}}}}}}}}}}}}}}$

Pronto, encontramos um novo limite através da mudança de variável, agora vamos calcular o novo limite que foi obtido através da mudança de variável, veja:

Já que temos uma indeterminação e a questão não nos proíbe, vamos fazer então a aplicação da regra de L'hospital, pois, além de ser mais rápida, permite-nos chegar ao mesmo resultado, vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~1}~\dfrac{u-1}{u^{4}+6u^{2}-7}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\frac{d}{du}~(u-1)}{\frac{d}{du}~(u^{4}+6u^{2}-7)}}~~\textbf{Pela~derivada~para~a~soma,~teremos:}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\frac{d}{du}~(u)+\frac{d}{du}~(-1)}{\frac{d}{du}~(u^{4})+\frac{d}{du}~(6u^{2})+\frac{d}{du}~(-7)}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{4u^{3}+12u}}~~\textbf{Substituindo~no~limite~com~u~tendendo~a~1,~teremos:}}\\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\lim_{u~\to~1}~\dfrac{1}{4u^{3}+12u}}}~~\textbf{Por~substitui\c{c}\~ao~direta,~teremos:}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{4~\cdot~1+12~\cdot~1}}}\\\\\\\\ \mathsf {\dfrac{1}{4+12}}\\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\lim_{x~\to~4}~\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x^{2}-16}}=\mathbf{\dfrac{1}{16}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}~~\checknark}}$

Ou seja, o resultado do limite dado acima é 1/16.

Espero que te ajude. '-'