Question

Qual o limite de sen(x^2-p^2)/x-p , quando x tende a p?

Answer 1

$\mathsf{\lim_{x \to p}\dfrac{\sin({x}^{2}-{p}^{2})}{x-p}}$

Vamos multiplicar e dividir a expressão por x+p.

$\mathsf{\lim_{x \to p}\dfrac{\sin({x}^{2}-{p}^{2})}{(x-p) }\dfrac{(x+p)}{(x+p)}}$

Note que temos um produto notável no denominador $(x+p)(x-p)={x}^{2}-{p}^{2}$

Substituindo temos

$\mathsf{\lim_{x \to p}\dfrac{\sin({x}^{2}-{p}^{2})}{{x}^{2}-{p}^{2}}.(x+p) }$

Lembre-se que o limite do produto é igual ao produto dos limites.

Então

$\mathsf{\lim_{x \to p}\dfrac{\sin({x}^{2}-{p}^{2})}{{x}^{2}-{p}^{2}}.\lim_{x \to p}x+p}$

Perceba que temos um limite trigonométrico fundamental.

$\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$

Daí

Fazendo

$u={x}^{2}-{p}^{2}\\u\to~0~quando~x\to~p$

Substituindo temos

$\mathsf{\lim_{u \to 0}\dfrac{\sin(u)}{u}.\lim_{x \to p}x+p=1.(p+p)=2p}$

Portanto

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\lim_{x \to p}\dfrac{\sin({x}^{2}-{p}^{2})}{x-p}=2p\checkmark}}}$