Question

qual o conjunto imagem dessa função?
f(x)=x² - 25

Answer 1

✅ O conjunto imagem da referida função é:

             $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\ge-25\} \end{gathered} }$

O conjunto imagem de uma função é um subconjunto do Contradomínio formado por todas as ordenadas dos pontos que de alguma forma se relaciona com algum elemento do Domínio.  

Se nos foi dado a seguinte função:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 25 \end{gathered}$

Cuja equação é:

            $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - 25 = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                 $\large\begin{cases}a = 1\\b = 0\\c = -25 \end{cases}$

Para encontrar o conjunto imagem da referida função devemos:

• Encontrar a ordenada do vértice da função;

        Calculando a ordenada do vértice da função, temos:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}Y_{V} = -\frac{\Delta}{4\cdot a} \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= -\frac{[b^{2} - 4\cdot a\cdot c]}{4\cdot a} \end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= -\frac{[0^{2} - 4\cdot1\cdot(-25)]}{4\cdot1} \end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{[0 + 100]}{4} \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{100}{4} \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}= -25 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:Y_{V} = -25 \end{gathered}$

• Obter a concavidade da parábola;

         $\large\displaystyle\begin{gathered}Se\:\:a > 0\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:concavidade\:\:\:\cup \end{gathered}$

         Desta forma o vértice da parábola é um ponto de mínimo

• Escrever o conjunto imagem "Im":

          $\large\displaystyle\begin{gathered}Se\:\:a> 0 \:\:\: e\:\:\:Y_{V} = -25 \end{gathered}$

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\Longrightarrow\:\:\:I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\ge-25\} \end{gathered} }$

✅ Portanto, o conjunto imagem da referida função é:

             $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}I_{m} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\ge-25\} \end{gathered} }$

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Solução gráfica: