Question

Qual o conjunto imagem de cada uma das funções:

a) y=2x^2-3x
b) y=4x^2-1
c) y=-x^2+2x-2
d) y=-2x^2+4x+3
e) y=3x^2-5x+1

Answer 1

a) $y=2x^{2}-3x$

Vamos completar o quadrado no lado direito. Multiplicando os dois lados por $2,$

$2y=4x^{2}-6x$


somando $\dfrac{9}{4}$ aos dois lados

$2y+\dfrac{9}{4}=4x^{2}-6x+\dfrac{9}{4}\\ \\ \\ 2y+\dfrac{9}{4}=\left(2x-\dfrac{3}{2} \right )^{2}$


Sabemos que, se $x \in \mathbb{R},$ então

$2x \in \mathbb{R}\;\;\Rightarrow\;\;2x-\dfrac{9}{4} \in \mathbb{R}$


Logo, o lado direito da igualdade é o quadrado de um número real. Sendo assim, temos que

$\left(2x-\dfrac{3}{2} \right )^{2}\geq 0\\ \\ 2y+\dfrac{9}{4}\geq 0\\ \\ 2y \geq -\dfrac{9}{4}\\ \\ y \geq -\dfrac{9}{8}$


Portanto, o conjunto imagem é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y \geq -\dfrac{9}{8} \right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos o conjunto imagem é $\left[-\dfrac{9}{8};\,+\infty \right ).$


b) $y=4x^{2}-1$

$y+1=4x^{2}\\ \\ y+1=(2x)^{2}$


O lado direito é o quadrado de um número real. Logo, temos que

$(2x)^{2} \geq 0\\ \\ y-1 \geq 0\\ \\ y \geq 1$


O conjunto imagem é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y \geq 1 \right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos, o conjunto imagem é $[1;\,+\infty).$


c) $y=-x^{2}+2x-2$

$-y=x^{2}-2x+2\\ \\ -y-1=x^{2}-2x+2-1\\ \\ -y-1=x^{2}-2x+1\\ \\ -y-1=(x-1)^{2}$


Temos que

$(x-1)^{2} \geq 0\\ \\ -y-1 \geq 0\\ \\ -1 \geq y\\ \\ y \leq -1$


O conjunto imagem é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y \leq -1 \right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos, o conjunto imagem é $(-\infty;\,-1].$


d) $y=-2x^{2}+4x+3$

$-2y=4x^{2}-8x-6\\ \\ -2y+6=4x^{2}-8x\\ \\ -2y+6+4=4x^{2}-8x+4\\ \\ -2y+10=(2x-2)^{2}$


Então,

$(2x-2)^{2} \geq 0\\ \\ -2y+10 \geq 0\\ \\ 10 \geq 2y\\ \\ y \leq \dfrac{10}{2}\\ \\ y \leq 5$


O conjunto imagem é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y \leq 5 \right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos, o conjunto imagem é $[5;\,+\infty).$


e) $y=3x^{2}-5x+1$

$y-1=3x^{2}-5x\\ \\ 3\,(y-1)=9x^{2}-15x\\ \\ 3\,(y-1)+\dfrac{25}{4}=9x^{2}-15x+\dfrac{25}{4}\\ \\ \\ 3\,(y-1)+\dfrac{25}{4}=\left(3x-\dfrac{5}{2} \right )^{2}$


Devemos ter

$\left(3x-\dfrac{5}{2} \right )^{2} \geq 0\\ \\ \\ 3\,(y-1)+\dfrac{25}{4} \geq 0\\ \\ \\ 3y-3+\dfrac{25}{4} \geq 0\\ \\ \\ 3y+\dfrac{-12+25}{4} \geq 0\\ \\ \\ 3y+\dfrac{13}{4} \geq 0\\ \\ \\ 3y \geq -\dfrac{13}{4}\\ \\ \\ y \geq -\dfrac{13}{12}$


O conjunto imagem é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y \geq -\dfrac{13}{12} \right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos, o conjunto imagem é $\left[-\dfrac{13}{12};\,+\infty \right ).$