Question

Qual o conjunto imagem da função f(x) = -x² + 4?

Answer 1

Sabemos que para todo $x$ real,

$x^{2} \geq 0$


Multiplicando os dois lados da desigualdade acima por $-1,$ que é um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte, e temos

$-x^{2} \leq 0$


Adicionando $4$ aos dois lados da desigualdade acima, temos

$-x^{2}+4 \leq 0+4\\ \\ -x^{2}+4 \leq 4\\ \\ f(x) \leq 4$


Logo, o conjunto imagem de $f$ é

$\mathrm{Im}(f)=\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,y \leq 4\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos, temos

$\mathrm{Im}(f)=\left(-\infty,\,4 \right ]$