Question

Qual o conjunto imagem da função f (x) = x ao quadrado mais 4x mais 3?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Matheus, que a resolução é simples.
Pede-se o conjunto-imagem da função abaixo:

f(x) = x² + 4x + 3.

Note isto e nunca mais esqueça: o conjunto-imagem de funções do 2º grau são dadas sempre pelo "y" do vértice (yv)  da parábola da função dada. Então o conjunto-imagem poderá ser: ou f(x) ≥ yv, ou f(x) ≤ yv.
Aí você poderá perguntar: e como saberei se f(x) será maior ou igual ou menor ou igual ao "y" do vértice (yv)?
Resposta: observando o sinal do termo "a" (o termo "a" de funções do 2º grau é o coeficiente de x²). Se o termo "a" for positivo, então teremos um ponto de mínimo no "yv", e, assim, o conjunto-imagem será f(x) ≥ yv; se , no entanto, o termo "a" for negativo, então teremos um ponto de máximo no "yv" e, assim, o conjunto-imagem será: f(x) ≤ yv. Entendeu?

Bem, dito isso, vamos trabalhar com a função da sua questão que é esta:

f(x) = x² + 4x + 3

Veja que o termo "a" é positivo. Logo, teremos um ponto de mínimo. Então o conjunto-imagem será: f(x) ≥ yv.

Assim, vamos encontrar qual é esse "yv" (que é o "y" do vértice da parábola da função dada).
A fórmula para encontrar o "y" do vértice é esta:

yv = - (b² - 4ac)/4a ----- substituindo-se cada letra pelo respectivo coeficiente da equação da sua questão, teremos (note que a = 1, que é o coeficiente de "x²"; b = 4, que é o coeficiente de "x"; e c = 3, que é o coeficiente do termo independente):

yv = - (4² - 4*1*3)/4*1
yv = - (16 - 12)/4
yv = - (4)/4 --- ou apenas:
yv = -4/4
yv = - 1 <--- Este é o valor do "y" do vértice da parábola da equação dada.

Então, teremos que o conjunto-imagem (CI) será este:

f(x) ≥ -1

Ou, se quiser, poderá apresentar o conjunto-imagem (CI) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

CI = {f(x) ∈ R | f(x) ≥ -1}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.