Question

qual o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5 no intervalo fechado
[0,2]

Answer 1

A fórmula para o cálculo do comprimento de arco do gráfico de uma função y = f(x) sobre um intervalo [a, b] é

    $\mathsf{L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+\big[f'(x)\big]^2}\,dx}$

onde f'(x) denota a 1ª derivada de f em relação à variável x.

Para esta tarefa temos

    $\mathsf{f(x)=3x+5}$

e queremos calcular o comprimento do arco do gráfico de f(x) sobre o intervalo [0, 2]. O comprimento procurado é

    $\mathsf{L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+\big[(3x+5)'\big]^2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+\big[3\big]^2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+9}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{10}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\sqrt{10}\int_0^2\,dx}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\sqrt{10}\cdot x\Big|_0^2}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\sqrt{10}\cdot (2-0)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=2\displaystyle\sqrt{10}~~u.c.\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

y=3x+5

x ∈ [0,2]      

x=0 ==>y=5   ==> (0,5)

x=2 ==>y=11  ==>(2,11)

d²=(2-0)²+(11-5)²

d²=4+36

d= √40=2√10 unid. de comprimento