Question

Qual o comprimento da curva f(x) = 1/3(x²+2)^(3/2) no intervalo [0, 3]

Answer 1

✅ O comprimento da curva da função $f(x)$ quando $0 \leqslant x\leqslant 3$ é igual a 12 u.c.

❏ Desejamos calcular o comprimento da curva da função $\displaystyle\text{ \begin{gathered} f(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^2+2)^{\frac{3}{2}} \end{gathered} }$ no intervalo [0 : 3]. Para isto, temos à seguinte fórmula:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{ C = \int_a^b \sqrt{1+\left[\left(f(x)\right)'\right]^2 } dx }}\end{gathered} }$

• ☁️ Com isso, temos que o comprimento da curva da função f(x) será dado por:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C = \int_0^3 \sqrt{1+\left[\left(\frac{1}{3} \cdot (x^2+2)^{\frac{3}{2}}\right)'\right]^2 } dx \end{gathered} }$

❏ Vamos então resolver aquela derivada. Para isso devemos aplicar a regra da cadeia dada por $f'(g(x))= f(g(x)) \cdot g'(x)$.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C = \int_0^3 \sqrt{1+\left[\frac{1}{\!\diagup\!\!\!\!3} \cdot \frac{\!\diagup\!\!\!\!3}{2}\cdot (x^2+2)^{\frac{3}{2}-1}\cdot (x^2+2)'\right]^2 } dx \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C = \int_0^3 \sqrt{1+\left[\frac{1}{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot (x^2+2)^{\frac{1}{2}}\cdot \!\diagup\!\!\!\!2x\right]^2 } dx \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C = \int_0^3 \sqrt{1+\left[ x\cdot (x^2+2)^{\frac{1}{2}}\right]^2 } dx \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} C = \int_0^3 \sqrt{1+ x^2\cdot (x^2+2)}\ dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C = \int_0^3 \!\diagup\!\!\!\!\sqrt{(x^2+1)^{\!\diagup\!\!\!\!2}}\ dx \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} C = \int_0^3 x^2+1 dx \end{gathered}$

❏ Agora ficou muito mais fácil, basta resolvermos essa simples integral por meio da seguinte propriedade sendo f e g funções contínuas no intervalo [a, b]:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \int_a^b ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int _a^b f(x) \ dx \pm \int_a^b g(x) \ dx \end{gathered}$

❏ Ficando então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} C = \int_0^3 x^2 dx +\int _0^3 dx \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} C = \frac{x^3}{3} \bigg|_0^3 + x\bigg|_0^3 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} C = \frac{3^3}{3} -\frac{0^3}{3} + 3-0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} C = 9 + 3 \Rightarrow \therefore \boxed{C=12\ u.c} \ \ ( \checkmark ).\end{gathered}$

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• brainly.com.br/tarefa/50447999 ⇒ ( Resposta da minha amiga Zadie! ) :)