Question

Qual o algarismo das unidades do número 3 1 + 32 + 33 + 34 + 3 2013 ? Lembre-se, por exemplo, que 3 2 = 3 3 = 9. E 3 3 = 3 3 3 = 27. Lembre-se também que o algarismo das unidades de um número é o último à direita dele. Por exemplo, o algarismo das unidades de 376564534539 é 9

Answer 1

Note que

31
32
33
34
35
36
37
38

= 3, cujo algarismo das unidades é 3.
= 9, cujo algarismo das unidades é 9.
= 27, cujo algarismo das unidades é 7.
= 81, cujo algarismo das unidades é 1.
= 243, cujo algarismo das unidades é 3.
= 729, cujo algarismo das unidades é 9.
= 2187, cujo algarismo das unidades é 7.
= 6561, cujo algarismo das unidades é 1.

Aí já podemos notar que a cada quatro potências, os algarismos das unidades
se repetem (sempre 3, 9, 7 e 1, nessa ordem). E também que, como 3 + 7 = 10
e 1 + 9 = 10, esses grupos de quatro números não influenciam o algarismo das
unidades, porque somar um número que termina em zero não muda o algarismo
das unidades.

Dividindo 2013 por 4, notamos que o resto é 1. Logo, o algarismo das unidades
de 31 + 32 + 33 + 34 + · · · + 32013 é 3.

Answer 2

O algarismo das unidades desse número é 3.

Lógica

Em questões de raciocínio lógico, geralmente devemos encontrar padrões ou alguma forma de relacionar as informações da questão.

Vamos calcular os valores dos primeiros termos dessa soma:

• 3¹ = 3
• 3² = 9
• 3³ = 27
• 3⁴ = 81
• 3⁵ = 243
• 3⁶ = 729

Note que o último algarismo de cada termo segue a sequência: 3, 9, 7, 1, 3, 9, .... Portanto, a cada quatro termos, algarismo mais à direita da soma será:

3 + 9 + 7 + 1 = 20 → 0

O último termo é 3²⁰¹³, dividindo o expoente por 4, obtemos:

2013/4 = 503, resto 1

Logo, essa sequência de 4 termos se repete 503 vezes com o último termo terminando em 3. O algarismo das unidades dessa soma pode ser simplificada para:

0·503 + 3 = 3

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