Question

Qual o 2015° número dessa sequência? 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2...
Com cálculos por favorr.​

Answer 1

Vamos definir uma função p(n)

$p: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

Em que dado a posição da sequência, p(n) resultará em seu valor.

Pela sequência vemos que é uma sequência que se repete de 8 em 8 termos:

1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2...

Primeiramente vamos criar uma função temporária f(n) para n entre 1 e 8, representando o primeiro ciclo, depois expandiremos o conceito utilizando aritmética de restos.

Precisamos de uma função que bata com os termos, faremos isso com módulo.

A função módulo é aquela que é como um V e é representada por |x|, no entanto queremos que o V seja invertido e seu pico em 5:

$f(n) = -|n|$

Para inverter V e

$f(n) = -|n-5|$

Agora, a função está com o bico em 5, mas f(5) = 0, teremos de subir em 5 a função:

$f(n) = -|n-5|+5$

Obtemos nossa função:

$f(n)=5-|n-5|$

Testando com as posições de 1 a 8

f(1) = 5-|-4| = 5-4 = 1

f(2) = 5-|-3|= 5-3 = 2

f(3) = 5-|-2| = 5-2= 3

f(4) = 5-|-1|= 5-1 = 4

f(5) = 5-|0| = 5

f(6) = 5-|1| = 4

f(7) = 5-|2| = 3

f(8) = 5-|1| = 2

Excelente, no entanto devemos expandir para que:

$f(n) = p(8k+n), \: 1\leq n\leq 8, \:\forall k\in\mathbb{N}$

E para isso usamos o resto da divisão de n por 8 e comparamos com o resultado de f(n), por exemplo, o número que assume a 10ª posição terá:

Divisão por 8: Resto 2

10 | 8

-8  1

  2

Portanto, p(8) = f(2) = 2

E de fato é, na nossa sequência lá em cima vemos que o 10º número (sublinhado) é realmente 2.

Assim, faremos para n = 2015

Divisão por 8: Resto 7

2015 | 8

-16       251

  41

 -40

     15

     -8

       7

p(2015) = f(7) = 3

3 é o 2015º número da sequência